Как найти косинус угла между векторами m = 3a – b и n = a + 4b, если a перпендикулярно b и |a| = |b| = 1?

Геометрия 10 класс Векторы и углы между ними косинус угла векторы перпендикулярные векторы геометрия m = 3a – b n = a + 4b длина векторов угол между векторами Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами m и n, мы воспользуемся формулой:

cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|)

где m · n - скалярное произведение векторов, |m| и |n| - длины векторов m и n соответственно.

Теперь давайте найдем векторы m и n:

• m = 3a - b
• n = a + 4b

Поскольку векторы a и b перпендикулярны, мы можем использовать это свойство для вычисления скалярного произведения и длины векторов.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение m и n.

Скалярное произведение m и n можно записать следующим образом:

m · n = (3a - b) · (a + 4b)

Теперь раскроем скобки:

m · n = 3a · a + 12a · b - b · a - 4b · b

Здесь мы знаем, что:

• a · a = |a|^2 = 1
• b · b = |b|^2 = 1
• a · b = 0 (так как a перпендикулярно b)

Подставим эти значения в выражение:

m · n = 3(1) + 12(0) - 0 - 4(1) = 3 - 4 = -1

Шаг 2: Найдем длины векторов m и n.

Для нахождения длины вектора m:

|m| = |3a - b| = sqrt((3a - b) · (3a - b)) = sqrt((3a · 3a) - 2(3a · b) + (b · b))

Подставляя известные значения:

• 3a · 3a = 9
• 3a · b = 0
• b · b = 1

Таким образом:

|m| = sqrt(9 - 0 + 1) = sqrt(10)

Теперь найдем длину вектора n:

|n| = |a + 4b| = sqrt((a + 4b) · (a + 4b)) = sqrt((a · a) + 8(a · b) + (4b · 4b))

Подставляем значения:

• a · a = 1
• a · b = 0
• 4b · 4b = 16

Таким образом:

|n| = sqrt(1 + 0 + 16) = sqrt(17)

Шаг 3: Подставим все значения в формулу для косинуса угла.

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами:

cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|) = (-1) / (sqrt(10) * sqrt(17))

Таким образом, косинус угла между векторами m и n равен:

cos(θ) = -1 / sqrt(170)

Это и есть искомое значение косинуса угла между векторами m и n.