Помогите пожалуйста с решением. Найдите косинус угла между векторами m = 5a + b и n = 2a – b, если a ⊥ b и |a| = |b| = 1.

Геометрия 10 класс Векторы и углы между ними косинус угла векторы m и n a перпендикулярно b длина векторов решение задачи по геометрии Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами m и n, воспользуемся формулой:

cos(θ) = (m · n) / (|m| |n|)

Сначала найдем скалярное произведение m и n:

• m · n = (5a + b) · (2a - b)
• m · n = 5a · 2a + 5a · (-b) + b · 2a + b · (-b)
• m · n = 10|a|^2 - 5(a · b) + 2(b · a) - |b|^2
• Поскольку a ⊥ b, то a · b = 0.
• Также |a|^2 = |b|^2 = 1.
• m · n = 10(1) - 0 + 0 - 1 = 9.

Теперь найдем длины векторов m и n:

• |m| = sqrt((5a + b) · (5a + b)) = sqrt(25|a|^2 + 10(a · b) + |b|^2) = sqrt(25 + 0 + 1) = sqrt(26).
• |n| = sqrt((2a - b) · (2a - b)) = sqrt(4|a|^2 - 4(a · b) + |b|^2) = sqrt(4 - 0 + 1) = sqrt(5).

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

cos(θ) = 9 / (sqrt(26) * sqrt(5)) = 9 / sqrt(130).

Ответ: cos(θ) = 9 / sqrt(130).