В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Угол ACB равен 30°, угол CBA равен 50°, длина отрезка BM составляет 4 см. Постройте рисунок и определите:

1. длину биссектрисы AM (10 баллов);
2. длину стороны AC (12 баллов);
3. радиус окружности, описанной около треугольника ABC (11 баллов).

Геометрия 10 класс Биссектрисы и радиусы окружностей в треугольниках биссектрисы AM угол ACB 30° угол CBA 50° треугольник ABC длина BM 4 см длина стороны AC радиус описанной окружности Новый

Для решения задачи начнём с построения треугольника ABC с заданными углами и отрезком BM.

1. Построение треугольника ABC:

• Угол ACB равен 30°.
• Угол CBA равен 50°.
• Значит, угол CAB равен 180° - (30° + 50°) = 100°.

Теперь мы можем построить треугольник ABC, где:

• Угол ACB = 30°
• Угол CBA = 50°
• Угол CAB = 100°

Пусть BM = 4 см. Так как AM является биссектрисой угла A, то по свойству биссектрисы:

• AM делит угол A на два равных угла, то есть угол BAM = угол CAM = 50°.

2. Длина биссектрисы AM:

Для нахождения длины биссектрисы AM можно использовать формулу:

AM = (AB * AC) / (AB + AC) * cos(A/2).

Однако, для этого нам нужно знать длины сторон AB и AC. Мы можем использовать теорему синусов для нахождения этих сторон.

3. Нахождение сторон AB и AC:

Согласно теореме синусов:

• AB / sin(ACB) = AC / sin(CAB) = BC / sin(CBA).

Обозначим:

• AB = c, AC = b, BC = a.

Тогда:

• c / sin(30°) = b / sin(100°) = a / sin(50°).

Из этого мы можем выразить стороны через одну из них. Например, пусть a = 4 см (BM), тогда:

• c = 4 * sin(30°) / sin(50°),
• b = 4 * sin(100°) / sin(50°).

Теперь подставим значения:

• sin(30°) = 0.5,
• sin(50°) ≈ 0.766,
• sin(100°) ≈ 0.985.

Теперь подставим:

• c ≈ 4 * 0.5 / 0.766 ≈ 2.61 см,
• b ≈ 4 * 0.985 / 0.766 ≈ 5.15 см.

4. Длина биссектрисы AM:

Теперь мы можем найти длину AM:

• AM = (c * b) / (c + b) * cos(50°).

Подставим значения:

• AM ≈ (2.61 * 5.15) / (2.61 + 5.15) * cos(50°).

Теперь вычислим:

• AM ≈ (13.44) / (7.76) * 0.643 ≈ 1.74 см.

5. Длина стороны AC:

Мы уже нашли, что AC = b ≈ 5.15 см.

6. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC:

Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

R = (abc) / (4S),

где S - площадь треугольника. Площадь S можно найти по формуле Герона или через синус угла:

S = 0.5 * AB * AC * sin(30°).

Подставим значения:

• S ≈ 0.5 * 2.61 * 5.15 * 0.5 ≈ 3.36 см².

Теперь подставим в формулу для радиуса:

• R ≈ (2.61 * 5.15 * 4) / (4 * 3.36) ≈ 1.56 см.

Ответы:

• Длина биссектрисы AM ≈ 1.74 см.
• Длина стороны AC ≈ 5.15 см.
• Радиус окружности, описанной около треугольника ABC ≈ 1.56 см.