В треугольнике АВС провели биссектрису А1. М является серединой стороны АС. Известно, что А1 = ІМ. Длина стороны АВ равна 7, а сторона АС равна 18. Нужно найти:

1. длину стороны ВС этого треугольника;
2. радиус вписанной в треугольник окружности.

Геометрия 10 класс Биссектрисы и радиусы окружностей в треугольниках треугольник ABC биссектрисы длина стороны BC радиус вписанной окружности геометрические задачи свойства треугольника серединные отрезки решение задач по геометрии Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть треугольник ABC, в котором проведена биссектрису A1. M является серединой стороны AC, и нам известно, что A1 = IM. Длины сторон AB и AC равны 7 и 18 соответственно. Нам нужно найти длину стороны BC и радиус вписанной окружности.

Шаг 1: Найдем длину стороны BC.

Для начала применим теорему о биссектрисе. Она гласит, что отношение сторон, прилежащих к биссектрисе, равно отношению отрезков, на которые эта биссектрису делит противоположную сторону. В нашем случае это будет выглядеть так:

• AB / AC = BM / MC

Где:

• AB = 7
• AC = 18
• M - середина AC, следовательно, AM = MC = 18 / 2 = 9.

Теперь подставим известные значения в уравнение:

• 7 / 18 = BM / 9

Решим это уравнение относительно BM:

• BM = (7 / 18) * 9 = 7 / 2 = 3.5.

Теперь, зная BM, можем найти MC:

• MC = 9 - BM = 9 - 3.5 = 5.5.

Теперь мы можем найти длину стороны BC, используя теорему о биссектрисе:

• BC = AB + AC - BM - MC = 7 + 18 - 3.5 - 5.5 = 16.

Шаг 2: Найдем радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности R треугольника можно найти по формуле:

• R = S / p,

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.

Сначала найдем полупериметр p:

• p = (AB + AC + BC) / 2 = (7 + 18 + 16) / 2 = 41 / 2 = 20.5.

Теперь найдем площадь S треугольника ABC. Для этого используем формулу Герона:

• S = sqrt(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)).

Подставим значения:

• S = sqrt(20.5 * (20.5 - 7) * (20.5 - 18) * (20.5 - 16))
• S = sqrt(20.5 * 13.5 * 2.5 * 4.5).

Вычислим каждое из значений:

• 20.5 - 7 = 13.5
• 20.5 - 18 = 2.5
• 20.5 - 16 = 4.5

Теперь подставим в формулу и вычислим S:

• S = sqrt(20.5 * 13.5 * 2.5 * 4.5) = sqrt(20.5 * 13.5 * 11.25) ≈ 26.25.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

• R = S / p = 26.25 / 20.5 ≈ 1.28.

Таким образом, мы нашли:

• Длину стороны BC = 16.
• Радиус вписанной окружности R ≈ 1.28.