Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с условиями. У нас есть треугольник ABC, где:

• AD - прямая, перпендикулярная медиане BM;
• AD делит медиану BM пополам;
• Сторона AC равна 8.

Так как AD перпендикулярна медиане BM и делит её пополам, это означает, что точка D является серединой отрезка BM. Обозначим длину стороны AB через x.

Теперь вспомним, что медиана BM делит сторону AC на две равные части. Так как AC = 8, то каждая из половин, которые образует медиана, будет равна 4. Таким образом, мы можем обозначить:

• AM = 4;
• MC = 4.

Теперь применим теорему о медианах. Длина медианы BM в треугольнике ABC вычисляется по формуле:

BM = 1/2 * √(2AB² + 2AC² - BC²)

Однако, в данной задаче у нас нет информации о длине стороны BC. Но мы можем воспользоваться свойством прямоугольного треугольника ABD. Так как AD перпендикулярна BM, то треугольник ABD является прямоугольным.

По теореме Пифагора:

AB² = AD² + BD²

Где BD = 4 (половина медианы BM). Теперь нам необходимо найти длину AD. Но заметим, что в треугольнике ABD также можно использовать соотношение между сторонами:

Мы знаем, что AD делит BM пополам, и так как BM является медианой, то это приводит к тому, что:

AD = 1/2 * AC

Подставляем значение AC:

AD = 1/2 * 8 = 4

Теперь подставим все известные значения в формулу Пифагора:

x² = 4² + 4²

x² = 16 + 16

x² = 32

Теперь найдем x:

x = √32 = 4√2

Таким образом, длина стороны AB равна 4√2.