Давайте решим первую задачу по шагам.

1. Определение параметров цилиндра:

• Диагональ осевого сечения цилиндра равна 15. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, в котором одна сторона - это высота цилиндра (h), а другая сторона - это радиус основания цилиндра (r).
• Согласно теореме Пифагора, для такого треугольника выполняется равенство: h² + (2r)² = 15², где 2r - это диаметр основания цилиндра.

2. Соотношение высоты и диаметра:

• Высота цилиндра (h) соотносится с диаметром основания (2r) как 3 : 4. Это можно записать в виде пропорции: h = (3/4) * (2r) = (3/2)r.

3. Подстановка и решение уравнения:

• Теперь подставим выражение для h в уравнение Пифагора:
• (3/2)r² + (2r)² = 15².
• Это преобразуется в: (9/4)r² + 4r² = 225.
• Приведем к общему знаменателю: (9/4)r² + (16/4)r² = 225.
• (25/4)r² = 225.
• Умножим обе стороны на 4: 25r² = 900.
• Разделим на 25: r² = 36.
• Таким образом, r = 6.

4. Найдем высоту:

• Теперь найдем высоту h: h = (3/2) * 6 = 9.

5. Вычисление объема цилиндра:

• Формула объема цилиндра: V = πr²h.
• Подставляем значения: V = π * 6² * 9 = π * 36 * 9 = 324π.

Ответ: Объем цилиндра равен 324π (вариант б).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. В цилиндр вписана правильная четырехугольная призма:

Для решения этой задачи нужно понять, что правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание, и ее высота равна высоте цилиндра.

• Сторона квадрата (a) будет равна диаметру основания цилиндра (2r).
• Согласно ранее найденному значению радиуса, а = 2 * 6 = 12.
• Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы можно найти по формуле: V = a² * h.
• Подставляем значения: V = 12² * 9 = 144 * 9 = 1296.

Ответ: Объем правильной четырехугольной призмы равен 1296.