Чтобы найти угол между прямой AB1 и плоскостью ACC1 в кубе, давайте сначала определим координаты всех вершин куба. Предположим, что куб имеет сторону длиной 1 и расположен в трехмерной системе координат следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь найдем вектор, который направляет прямую AB1. Вектор AB1 можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B1:

• Вектор AB1 = B1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1).

Теперь определим плоскость ACC1. Для этого найдем векторы AC и AC1:

• Вектор AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0).
• Вектор AC1 = C1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1).

Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости ACC1, используя векторное произведение векторов AC и AC1:

• Нормальный вектор N = AC × AC1.

Вычислим векторное произведение:

• N = |i j k|
• |1 1 0|
• |1 1 1|

Вычисляя определитель, получаем:

• N = (1*1 - 0*1)i - (1*1 - 0*1)j + (1*1 - 1*1)k = (1)i - (1)j + (0)k = (1, -1, 0).

Теперь у нас есть вектор AB1 = (1, 0, 1) и нормальный вектор N = (1, -1, 0). Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, мы можем использовать скалярное произведение векторов:

Косинус угла θ между вектором AB1 и нормальным вектором N можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB1 • N) / (|AB1| * |N|),

где • - скалярное произведение, |AB1| и |N| - длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:

• AB1 • N = (1, 0, 1) • (1, -1, 0) = 1*1 + 0*(-1) + 1*0 = 1.

Теперь найдем длины векторов:

• |AB1| = sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(2),
• |N| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(2).

Теперь подставим все в формулу:

cos(θ) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 1 / 2.

Следовательно, угол между вектором AB1 и нормальным вектором N равен:

θ = arccos(1/2) = 60°.

Угол между прямой AB1 и плоскостью ACC1 равен 90° - θ = 90° - 60° = 30°.

Ответ: угол между прямой AB1 и плоскостью ACC1 равен 30°.