Для решения задачи начнем с анализа геометрии тетраэдра ABCD и расположения его вершин. У нас есть следующие условия:

• Угол ABD = 90 градусов
• Угол ABC = 90 градусов
• Угол DBC = 90 градусов
• Длина ребер AB = 2, BD = 2, BC = 1

Сначала определим координаты точек A, B, C и D в пространстве. Для удобства можно разместить точки следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 1, 0)
• D(2, 0, 2)

Теперь найдем середины отрезков AD и BC:

• Середина AD: M = ((0 + 2) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 2) / 2) = (1, 0, 1)
• Середина BC: N = ((2 + 2) / 2, (0 + 1) / 2, (0 + 0) / 2) = (2, 0.5, 0)

Теперь найдем векторы, которые направляют прямую MN и нормаль к плоскости ABD. Вектор MN можно найти следующим образом:

• MN = N - M = (2 - 1, 0.5 - 0, 0 - 1) = (1, 0.5, -1)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABD. Для этого используем векторы AB и AD:

• AB = B - A = (2 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)
• AD = D - A = (2 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (2, 0, 2)

Нормальный вектор к плоскости ABD можно найти с помощью векторного произведения AB и AD:

• n = AB × AD = |i j k|
• |2 0 0|
• |2 0 2|

Вычисляем детерминант:

• n = (0*2 - 0*0, 0*2 - 2*0, 2*0 - 2*0) = (0, 4, 0)

Теперь мы можем найти угол между вектором MN и нормальным вектором n. Для этого используем формулу:

• cos(θ) = (MN · n) / (|MN| * |n|)

Сначала найдем скалярное произведение MN и n:

• MN · n = (1, 0.5, -1) · (0, 4, 0) = 0 + 2 - 0 = 2

Теперь найдем длины векторов:

• |MN| = √(1^2 + 0.5^2 + (-1)^2) = √(1 + 0.25 + 1) = √2.25 = 1.5
• |n| = √(0^2 + 4^2 + 0^2) = √16 = 4

Подставляем в формулу:

• cos(θ) = 2 / (1.5 * 4) = 2 / 6 = 1/3

Теперь найдем sin(θ) с помощью соотношения sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1:

• sin^2(θ) = 1 - (1/3)^2 = 1 - 1/9 = 8/9
• sin(θ) = √(8/9) = (2√2) / 3

Теперь, согласно условию задачи, нужно умножить синус на 3:

• 3 * sin(θ) = 3 * (2√2 / 3) = 2√2

Таким образом, ответ: 2√2.