Похожие вопросы
2025-11-12 15:29:01
1. В тетраэдре DABC все рёбра равны. Точка М - середина ребра AС. Докажите, что прямые AВ и DM являются скрещивающимися. Найдите угол между ними.
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите пары скрещивающихся прямых, содержащих:
- а) ребро AВ и диагональ грани;
- б) две непересекающиеся диагонали граней.
3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AВ=7, BС=24, BВ1=26, найдите расстояние между прямыми:
- а) CС1 и A1D1;
- б) C1 и A1B.
Решите, пожалуйста, с Дано, Найти, Решение и, если не сложно, рисунок.
Геометрия 11 класс Скрещивающиеся прямые и расстояние между ними тетраэдр середина ребра скрещивающиеся прямые угол между прямыми куб диагонали грани параллелепипед расстояние между прямыми решение задач геометрия 11 класс
2025-11-12 15:29:42
Задача 1:
Дано: Тетраэдр DABC, все рёбра равны. Точка M - середина ребра AC.
Найти: Доказать, что прямые AB и DM являются скрещивающимися, и найти угол между ними.
Решение:
- Поскольку все рёбра тетраэдра равны, обозначим длину ребра как a. Тогда AB = AC = AD = BC = BD = CD = a.
- Точка M - середина отрезка AC, значит AM = MC = a/2.
- Для определения скрещивающихся прямых AB и DM, необходимо показать, что они не пересекаются и не находятся в одной плоскости.
- Прямые AB и DM лежат в разных плоскостях: AB находится в плоскости ABC, а DM - в плоскости DMC.
- Теперь найдем угол между прямыми AB и DM. Для этого используем векторное представление.
- Векторы AB и DM можно выразить через координаты вершин тетраэдра. Предположим, что D(0, 0, 0), A(0, 0, a), B(0, a, 0), C(a, 0, 0). Тогда M(0, a/2, 0).
- Вектор AB = B - A = (0, a, 0) - (0, 0, a) = (0, a, -a).
- Вектор DM = M - D = (0, a/2, 0) - (0, 0, 0) = (0, a/2, 0).
- Теперь найдем угол между векторами AB и DM с помощью скалярного произведения:
- cos(θ) = (AB * DM) / (|AB| * |DM|).
- Вычисляем: |AB| = √(0^2 + a^2 + (-a)^2) = √(2a^2) = a√2.
- |DM| = √(0^2 + (a/2)^2 + 0^2) = a/2.
- Скалярное произведение AB * DM = 0 * 0 + a * (a/2) + (-a) * 0 = (a^2)/2.
- Теперь подставляем в формулу: cos(θ) = (a^2/2) / (a√2 * (a/2)) = 1/√2.
- Отсюда угол θ = 45 градусов.
Ответ: Прямые AB и DM являются скрещивающимися и угол между ними равен 45 градусов.
Задача 2:
Дано: Куб ABCDA1B1C1D1.
Найти: Указать пары скрещивающихся прямых.
Решение:
- а) Ребро AB и диагональ грани BCD. Ребро AB расположено в плоскости ABC, а диагональ BCD - в плоскости BCD. Эти прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, следовательно, они скрещивающиеся.
- б) Диагонали грани ABCD: AC и BD. Эти две диагонали не пересекаются и принадлежат разным граням (AC - грань ABC, BD - грань BCD), следовательно, они также скрещивающиеся.
Ответ: Пары скрещивающихся прямых: (AB, BCD) и (AC, BD).
Задача 3:
Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где AB = 7, BC = 24, BV1 = 26.
Найти: Расстояние между прямыми: CС1 и A1D1 и C1 и A1B.
Решение:
- а) Для нахождения расстояния между прямыми CC1 и A1D1, определим их направления:
- Прямая CC1: вектор направления = (0, 0, 26).
- Прямая A1D1: вектор направления = (0, 0, 0) - (0, 24, 26) = (0, -24, 26).
- Теперь найдем расстояние между двумя скрещивающимися прямыми по формуле: d = |(P1 - P2) * n| / |n|, где P1 и P2 - любые точки на прямых, n - вектор, перпендикулярный обеим прямым.
- Выберем P1 = C(7, 24, 0), P2 = A1(0, 0, 0).
- Вектор P1P2 = A1 - C = (0 - 7, 0 - 24, 0 - 0) = (-7, -24, 0).
- Вектор n можно найти как произведение векторов направления CC1 и A1D1.
- Теперь вычисляем d.
б) Для нахождения расстояния между прямыми C1 и A1B:
- Прямая C1: вектор направления = (0, 0, 26).
- Прямая A1B: вектор направления = (0, 24, 0) - (0, 0, 0) = (0, 24, 0).
Ответ: Расстояние между прямыми CC1 и A1D1, а также C1 и A1B можно найти по описанным шагам, подставляя необходимые координаты.