Похожие вопросы
2025-11-12 15:44:49
1. В тетраэдре DABC все рёбра равны. Точка М - середина ребра AС. Как можно доказать, что прямые AВ и DM являются скрещивающимися? Как найти угол между ними?
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 какие пары скрещивающихся прямых можно указать, если одна из них содержит: а) ребро AВ и диагональ грани; б) две непересекающиеся диагонали граней?
3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AВ=7, BC=24, BB1=26, как можно найти расстояние между прямыми: а) СС1 и A1D1; б) С1 и A1B? Пожалуйста, решите с указанием Дано, Найти, Решение и, если возможно, рисунок.
Геометрия 11 класс Скрещивающиеся прямые и расстояние между ними геометрия 11 класс тетраэдр скрещивающиеся прямые угол между прямыми куб диагонали грани параллелепипед расстояние между прямыми решение задач геометрические свойства
2025-11-12 15:45:23
1. Доказательство, что прямые AB и DM являются скрещивающимися
Дано: Тетраэдр DABC, где все рёбра равны. Точка M - середина ребра AC.
Найти: Доказать, что прямые AB и DM скрещивающиеся.
Решение:
- Определим, что прямые скрещивающиеся, если они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
- Сначала найдем координаты точек:
- D(0, 0, 0)
- A(1, 0, 0)
- B(0, 1, 0)
- C(0, 0, 1)
- Точка M, будучи серединой AC, имеет координаты:
- M((1+0)/2, (0+0)/2, (0+1)/2) = (0.5, 0, 0.5)
- Теперь определим уравнения прямых AB и DM:
- Прямая AB: (x, y, 0) для 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 - это плоскость XY.
- Прямая DM: (0, 0, 0) + t(0.5, 0, 0.5) - это прямая, проходящая через D и M.
- Проверим, лежат ли они в одной плоскости. Для этого найдем векторы:
- Вектор AB: B - A = (-1, 1, 0)
- Вектор DM: M - D = (0.5, 0, 0.5)
- Если векторы AB и DM не коллинеарны, то прямые скрещивающиеся. Поскольку их направления различны, прямые AB и DM не лежат в одной плоскости, следовательно, они скрещиваются.
Найти угол между ними:
- Для нахождения угла между двумя прямыми используем скалярное произведение:
- cos(θ) = (AB * DM) / (|AB| * |DM|)
- Найдите длины векторов AB и DM и их скалярное произведение.
2. Пары скрещивающихся прямых в кубе ABCDA1B1C1D1
Дано: Куб ABCDA1B1C1D1.
Найти: Пары скрещивающихся прямых.
Решение:
- а) Ребро AB и диагональ грани:
- Ребро AB: A(0, 0, 0) и B(1, 0, 0).
- Диагональ грани A1C: A1(0, 0, 1) и C(1, 1, 0).
- б) Две непересекающиеся диагонали граней:
- Диагональ AC: A(0, 0, 0) и C(1, 1, 0).
- Диагональ B1D1: B1(1, 0, 1) и D1(0, 1, 1).
3. Расстояние между прямыми в прямоугольном параллелепипеде
Дано: ABCDA1B1C1D1, AB=7, BC=24, BB1=26.
Найти: Расстояние между прямыми.
Решение:
- а) Расстояние между CC1 и A1D1:
- CC1: C(0, 24, 0) и C1(0, 24, 26).
- A1D1: A1(0, 0, 26) и D1(7, 0, 26).
- Используем формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.
- б) Расстояние между S1 и A1B:
- S1 - точка на C1.
- A1B: A1(0, 0, 26) и B(7, 0, 0).
- Используем ту же формулу для нахождения расстояния.