а) Формулировка теоремы о трёх медианах:

Теорема о трёх медианах утверждает, что в любом треугольнике медианы, проведенные из вершин треугольника к серединам противоположных сторон, пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

б) Отношение АС к АВ в равнобедренном треугольнике:

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC, медианы к боковым сторонам (то есть медиана к стороне AC и медиана к стороне AB) перпендикулярны. Это свойство позволяет использовать теорему Пифагора для нахождения отношения сторон. Рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим длину стороны AB как x.
2. Поскольку треугольник равнобедренный, сторона AC также равна x.
3. Пусть медиана к стороне AC делит его на две равные части, то есть на отрезки длиной x/2.
4. Поскольку медианы перпендикулярны, мы можем использовать теорему Пифагора. Если обозначить длину медианы как m, то m^2 = (x/2)^2 + (x/2)^2.
5. Таким образом, m^2 = (x^2)/4 + (x^2)/4 = (x^2)/2.
6. Это позволяет установить отношение сторон: АС/АВ = 1, так как обе стороны равны.

в) Расстояние от точки М до катетов в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C равным 90°, медианы пересекаются в точке M. Чтобы найти расстояние от точки M до катетов, можно воспользоваться следующим подходом:

1. Обозначим длины катетов как a и b.
2. Медиана, проведенная из вершины C к гипотенузе AB, делит её на две равные части и пересекается с медианами, проведёнными из других вершин.
3. Согласно свойствам медиан, точка M делит каждую медиану в отношении 2:1.
4. Расстояние от точки M до катетов можно найти, используя формулу: расстояние = (a * b) / (a + b).

Таким образом, расстояние от точки M до катетов равно (a * b) / (a + b).