Чтобы доказать, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны, нам нужно выполнить несколько шагов. Начнем с определения плоскостей и необходимых векторов.

Шаг 1: Определение плоскостей

• Плоскость ABC1 проходит через точки A, B, C и C1.
• Плоскость A1B1D проходит через точки A1, B1 и D.

Шаг 2: Определение нормалей к плоскостям

Для того чтобы проверить перпендикулярность плоскостей, мы можем найти нормали к этим плоскостям. Если скалярное произведение нормалей равно нулю, то плоскости перпендикулярны.

Шаг 3: Нахождение векторов, лежащих в плоскостях

Рассмотрим векторы, которые лежат в каждой из плоскостей:

• В плоскости ABC1 можно взять векторы AB и AC1:
• AB = B - A
• AC1 = C1 - A
• В плоскости A1B1D можно взять векторы A1B1 и A1D:
• A1B1 = B1 - A1
• A1D = D - A1

Шаг 4: Нахождение нормали к плоскости ABC1

Чтобы найти нормаль к плоскости ABC1, мы можем использовать векторное произведение векторов AB и AC1:

• n1 = AB × AC1

Шаг 5: Нахождение нормали к плоскости A1B1D

Аналогично, нормаль к плоскости A1B1D будет найдена через векторное произведение векторов A1B1 и A1D:

• n2 = A1B1 × A1D

Шаг 6: Проверка перпендикулярности нормалей

Теперь нужно проверить, равно ли скалярное произведение нормалей n1 и n2 нулю:

• Если n1 • n2 = 0, то плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны.

Шаг 7: Заключение

Если все шаги выполнены и мы получили, что скалярное произведение равно нулю, то мы можем сделать вывод, что плоскости ABC1 и A1B1D действительно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны, используя векторы и их свойства.