Чтобы доказать, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, является параллельной плоскости BCD, мы будем использовать свойства векторов и координат.

Обозначим точки:

• A(0, 0, 0)
• B(b1, b2, b3)
• C(c1, c2, c3)
• D(d1, d2, d3)

Теперь найдем координаты середины ребер:

• Середина AB: M1 = ((0 + b1)/2, (0 + b2)/2, (0 + b3)/2) = (b1/2, b2/2, b3/2)
• Середина AC: M2 = ((0 + c1)/2, (0 + c2)/2, (0 + c3)/2) = (c1/2, c2/2, c3/2)
• Середина AD: M3 = ((0 + d1)/2, (0 + d2)/2, (0 + d3)/2) = (d1/2, d2/2, d3/2)

Теперь мы можем записать векторы, которые определяют плоскость, проходящую через точки M1, M2 и M3:

• Вектор M1M2 = M2 - M1 = (c1/2 - b1/2, c2/2 - b2/2, c3/2 - b3/2) = ((c1 - b1)/2, (c2 - b2)/2, (c3 - b3)/2)
• Вектор M1M3 = M3 - M1 = (d1/2 - b1/2, d2/2 - b2/2, d3/2 - b3/2) = ((d1 - b1)/2, (d2 - b2)/2, (d3 - b3)/2)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, образованной этими двумя векторами. Нормальный вектор N будет равен векторному произведению M1M2 и M1M3:

Для нахождения нормального вектора N:

• N = M1M2 x M1M3

Теперь рассмотрим плоскость BCD. Нормальный вектор к этой плоскости можно получить из векторов BC и BD:

• BC = C - B = (c1 - b1, c2 - b2, c3 - b3)
• BD = D - B = (d1 - b1, d2 - b2, d3 - b3)

Нормальный вектор к плоскости BCD будет равен:

• N' = BC x BD

Теперь, чтобы показать, что плоскости параллельны, нужно доказать, что нормальные векторы N и N' коллинеарны, то есть существуют такие скаляры k, что:

• N' = k * N

Если это выполняется, то плоскости M1M2M3 и BCD параллельны.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, является параллельной плоскости BCD.