Чтобы определить каноническое уравнение гиперболы, нам нужно использовать данные, которые нам даны: расстояние между директрисами, эксцентриситет, угол между асимптотами и значение c.

Давайте разберем шаги решения:

• Шаг 1: Найдем параметры гиперболы.
• Мы знаем, что эксцентриситет e гиперболы равен 5/4. Это значение эксцентриситета связано с параметрами a (полуось) и b (параметр, определяющий расстояние по вертикали) следующим образом:
• e = c/a, где c - фокусное расстояние.
• Также нам дано c = 2√3. Подставим это значение в формулу:
• 5/4 = 2√3/a.
• Решим это уравнение для a:
• a = (2√3 * 4) / 5 = (8√3) / 5.
• Шаг 2: Найдем b.
• Мы знаем, что расстояние между директрисами D = 2c/e. Подставим известные значения:
• D = 32/5 = 2 * (2√3) / (5/4).
• Упростим это уравнение:
• 32/5 = 8√3 / (5/4) = 32√3 / 5.
• Теперь найдем b с помощью соотношения c² = a² + b²:
• c² = (2√3)² = 12,
• a² = ((8√3)/5)² = 192/25.
• Теперь подставим значения:
• 12 = 192/25 + b².
• Умножим все на 25, чтобы избавиться от дроби:
• 300 = 192 + 25b²,
• 25b² = 300 - 192 = 108,
• b² = 108/25.
• Шаг 3: Запишем каноническое уравнение гиперболы.
• Так как угол между асимптотами равен 60 градусов, мы можем использовать стандартную форму гиперболы:
• (y²/a²) - (x²/b²) = 1.
• Подставляя найденные значения a и b, мы получаем:
• (y²/((8√3)/5)²) - (x²/(108/25)) = 1.
• Это и будет каноническое уравнение гиперболы.

Таким образом, мы определили каноническое уравнение гиперболы, используя данные о эксцентриситете, расстоянии между директрисами и значении c.