Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нам нужно пройти через несколько шагов. Давайте разберем задачу поэтапно.

Хорда, которая стягивает дугу 90°, делит круг на две равные части. Поскольку длина хорды равна 6 см, мы можем использовать формулу для длины хорды:

l = 2 * r * sin(α/2),

где l - длина хорды, r - радиус окружности, α - центральный угол в радианах.

В нашем случае α = 90° = π/2 радиан, и мы знаем, что l = 6 см. Подставляем значения:

6 = 2 * r * sin(π/4).

Так как sin(π/4) = √2/2, то у нас получается:

6 = 2 * r * (√2/2).

Упрощаем уравнение:

6 = r * √2.

Следовательно, r = 6/√2 = 3√2 см.

Теперь у нас есть радиус основания. Чтобы найти высоту конуса, воспользуемся углом между плоскостью, проходящей через хорду и вершину конуса, и плоскостью основания, который составляет 60°. Обозначим высоту конуса как h.

Используя тригонометрические функции, можем записать:

tan(60°) = h / r.

tan(60°) = √3, следовательно:

√3 = h / (3√2).

Отсюда находим h:

h = 3√2 * √3 = 3√6 см.

Теперь мы можем найти длину образующей конуса (l) с помощью теоремы Пифагора:

l = √(r² + h²).

Подставляем значения:

l = √((3√2)² + (3√6)²) = √(18 + 54) = √72 = 6√2 см.

Площадь боковой поверхности конуса (S) вычисляется по формуле:

S = π * r * l.

Подставляем наши значения:

S = π * (3√2) * (6√2) = π * 36 = 36π см².

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна 36π см².