В треугольнике ABC расположены точки M, N и P на сторонах AB, BC и AC соответственно. Если соотношения AM:MB=1:4, BN:NC=1:5 и AP:PC=1:3, а площадь треугольника ABC равна 120 см2, то какая площадь треугольника MNP?

Геометрия 11 класс Площади треугольников площадь треугольника MNP треугольник ABC геометрия 11 класс соотношения отрезков задачи по геометрии Новый

Чтобы найти площадь треугольника MNP, расположенного внутри треугольника ABC, мы воспользуемся соотношениями, которые даны в задаче, и формулой для нахождения площади треугольника через его стороны.

Даны следующие соотношения:

• AM:MB = 1:4
• BN:NC = 1:5
• AP:PC = 1:3

Сначала найдем доли, которые занимают отрезки AM, MB, BN, NC, AP и PC на сторонах треугольника ABC:

• AM = 1x, MB = 4x, тогда AB = AM + MB = 1x + 4x = 5x.
• BN = 1y, NC = 5y, тогда BC = BN + NC = 1y + 5y = 6y.
• AP = 1z, PC = 3z, тогда AC = AP + PC = 1z + 3z = 4z.

Теперь найдем площади треугольников AMN, BNP и ACP, которые являются частями треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC равна 120 см². Площадь треугольника MNP можно найти, используя формулу:

Площадь треугольника MNP = Площадь ABC * (1 - AM/AB) * (1 - BN/BC) * (1 - AP/AC).

Теперь подставим значения:

• AM/AB = 1/5, поэтому 1 - AM/AB = 1 - 1/5 = 4/5.
• BN/BC = 1/6, поэтому 1 - BN/BC = 1 - 1/6 = 5/6.
• AP/AC = 1/4, поэтому 1 - AP/AC = 1 - 1/4 = 3/4.

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

Площадь MNP = 120 * (4/5) * (5/6) * (3/4).

Упростим это выражение:

• 120 * (4/5) = 96.
• 96 * (5/6) = 80.
• 80 * (3/4) = 60.

Таким образом, площадь треугольника MNP равна 60 см².

Ответ: Площадь треугольника MNP равна 60 см².