Для решения данной задачи начнем с анализа данных и условия. У нас есть треугольник АВС, и на его сторонах выбраны точки М и К. Мы знаем, что:

• Отношение АМ к МВ равно 2:1.
• Отношение АК к КС равно 1:3.
• Треугольник АМК является равносторонним.
• Длина стороны ВС равна 21.

Обозначим длины отрезков:

• Пусть АМ = 2x и МВ = x. Тогда AB = АМ + МВ = 2x + x = 3x.
• Пусть АК = y и КС = 3y. Тогда AC = АК + КС = y + 3y = 4y.

Теперь нам нужно найти площадь треугольника АВС. Площадь треугольника можно выразить через его стороны и угол между ними, но в данной задаче есть более простой способ, так как мы знаем длину стороны ВС и можем использовать соотношения между сторонами.

Поскольку треугольник АМК равносторонний, то все его стороны равны. Обозначим длину стороны АМК как a. Тогда:

• АМ = 2x = a, следовательно, x = a/2.
• АК = y = a/3 (так как в равностороннем треугольнике высота делит сторону пополам).

Теперь выразим стороны AB и AC через a:

• AB = 3x = 3(a/2) = (3a)/2.
• AC = 4y = 4(a/3) = (4a)/3.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника, используя длину стороны ВС и высоту, проведенную к этой стороне. Площадь треугольника можно также выразить через стороны и угол между ними. Однако, в данной задаче мы можем использовать соотношение между сторонами, так как у нас есть длина стороны ВС = 21.

Используем соотношение между сторонами:

• Площадь треугольника S = (1/2) * основание * высота.
• Здесь основание (сторона ВС) = 21.

Согласно свойству треугольника с равносторонними треугольниками, высота h из точки А к стороне BC будет равна:

h = (sqrt(3)/2) * a, где a - сторона равностороннего треугольника АМК.

Теперь, чтобы найти площадь, нам нужно знать высоту. Мы можем выразить h через сторону BC:

h = (sqrt(3)/2) * (21 * (2/3)) = (sqrt(3)/2) * 14 = 7sqrt(3).

Теперь можем найти площадь треугольника АВС:

S = (1/2) * 21 * (7sqrt(3)) = 73.5sqrt(3).

Таким образом, площадь треугольника АВС равна:

S = 73.5sqrt(3).

Ответ: S = 73.5.