Задача 3: В треугольнике ABC угол ACB равен 90 градусов, длина стороны AC составляет 16 см, а отношение сторон AB и BC равно 5 к 3. Нужно найти длины сторон AB и BC.

1. Обозначим длины сторон треугольника:

• AB = 5x
• BC = 3x

2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника мы знаем, что:

AB^2 = AC^2 + BC^2

3. Подставим известные значения:

(5x)^2 = (16)^2 + (3x)^2

4. Раскроем скобки:

25x^2 = 256 + 9x^2

5. Переносим все слагаемые на одну сторону:

25x^2 - 9x^2 = 256

16x^2 = 256

6. Делим обе стороны на 16:

x^2 = 16

7. Извлекаем корень:

x = 4

8. Теперь находим длины сторон:

• AB = 5x = 5 * 4 = 20 см
• BC = 3x = 3 * 4 = 12 см

Ответ: Длина стороны AB составляет 20 см, а длина стороны BC составляет 12 см.

Задача 4: В треугольнике ABC угол ACB равен 90 градусов, длина стороны AB составляет корень из 78 см, а отношение сторон BC и AC равно 2 к 3. Нужно найти длины сторон BC и AC.

1. Обозначим длины сторон:

• BC = 2y
• AC = 3y

2. Используем теорему Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2

3. Подставляем известные значения:

(корень из 78)^2 = (3y)^2 + (2y)^2

4. Раскрываем квадрат:

78 = 9y^2 + 4y^2

5. Суммируем:

78 = 13y^2

6. Делим обе стороны на 13:

y^2 = 6

7. Извлекаем корень:

y = корень из 6

8. Теперь находим длины сторон:

• BC = 2y = 2 * (корень из 6) = 2 корня из 6 см
• AC = 3y = 3 * (корень из 6) = 3 корня из 6 см

Ответ: Длина стороны BC составляет 2 корня из 6 см, а длина стороны AC составляет 3 корня из 6 см.

Задача 5: Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза AB равна 4 корня из 10 дм, а один из катетов в 3 раза больше другого.

1. Обозначим катеты:

• катет 1 = x
• катет 2 = 3x

2. По теореме Пифагора:

AB^2 = катет 1^2 + катет 2^2

3. Подставляем известные значения:

(4 корня из 10)^2 = x^2 + (3x)^2

4. Раскрываем квадрат:

16 * 10 = x^2 + 9x^2

160 = 10x^2

5. Делим обе стороны на 10:

16 = x^2

6. Извлекаем корень:

x = 4

7. Теперь находим длины катетов:

• катет 1 = x = 4 дм
• катет 2 = 3x = 3 * 4 = 12 дм

Ответ: Длина первого катета составляет 4 дм, а длина второго катета составляет 12 дм.