Задача 4: Нам нужно найти длины диагоналей прямоугольника, если меньшая сторона равна 5 см, а диагонали пересекаются под углом 60°.

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в середине. Обозначим меньшую сторону прямоугольника как a = 5 см, а большую сторону как b. Длину диагонали D можно найти по формуле:

D = √(a² + b²)

Так как диагонали пересекаются под углом 60°, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины диагоналей. Обозначим длину диагонали как D. По теореме косинусов имеем:

D² = D1² + D2² - 2 * D1 * D2 * cos(60°)

Так как D1 = D2 = D, у нас получится:

D² = 2D² - 2D² * 0.5

Это упрощается до:

D² = D²

Теперь нам нужно найти b. Для этого воспользуемся тем, что угол между диагоналями равен 60°. По свойству прямоугольника мы знаем, что:

tan(60°) = a/b

То есть:

b = a / tan(60°)

Подставим a = 5 см и tan(60°) = √3:

b = 5 / √3

Теперь подставим значения a и b в формулу для диагонали:

D = √(5² + (5/√3)²)

Вычислим:

1. 5² = 25
2. (5/√3)² = 25/3
3. Итак, D = √(25 + 25/3) = √(75/3 + 25/3) = √(100/3) = 10/√3

Таким образом, длина диагоналей прямоугольника равна 10/√3 см.

Задача 5: Изобразить прямоугольник ABCD, где одна сторона показана на рисунке 6.5.

К сожалению, я не могу изобразить рисунок, но могу объяснить, как вы можете его нарисовать:

• Начните с рисования одной стороны прямоугольника, например, стороны AB, длина которой равна 5 см.
• От точки A проведите перпендикуляр вверх, чтобы обозначить сторону AD.
• От точки B проведите перпендикуляр вверх, чтобы обозначить сторону BC.
• На одинаковом расстоянии от AB, проведите горизонтальную линию, чтобы соединить точки D и C.
• Убедитесь, что стороны AD и BC равны по длине, чтобы получить правильный прямоугольник.

Таким образом, у вас получится прямоугольник ABCD с заданной стороной. Надеюсь, это поможет вам в вашем задании!