Докажите, что если две хорды пересекаются под прямым углом и одна из них делится пополам в точке пересечения, то другая хорда является диаметром окружности.

Геометрия 8 класс Хорды и диаметры окружности доказательство хорды пересечение прямой угол диаметр окружность геометрия свойства теорема 8 класс Новый

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим окружность с центром O и двумя хордами AB и CD, которые пересекаются в точке P под прямым углом. Предположим, что хорда AB делится пополам в точке P, то есть AP = PB.

Теперь мы можем рассмотреть следующие шаги:

1. Обозначим радиусы: Поскольку AB и CD - хорды окружности, точки A, B, C и D лежат на окружности. Обозначим радиусы OA, OB, OC и OD.
2. Используем свойства прямоугольного треугольника: Так как хорды пересекаются под прямым углом, треугольники OAP и OBP являются прямоугольными. Это значит, что угол OAP равен 90 градусам.
3. Рассмотрим равенство отрезков: Так как P - середина отрезка AB, то AP = PB. Это означает, что отрезок OP является высотой из точки O на сторону AB в треугольнике OAP.
4. Применим теорему о высоте: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу пополам. Таким образом, отрезок OP делит AB пополам, и мы имеем равенство OA^2 = OP^2 + AP^2.
5. Покажем, что радиус равен половине длины хорды: Поскольку AP = PB, то AB = 2 * AP. Таким образом, OA^2 = OP^2 + (AB/2)^2.
6. Покажем, что CD - диаметр: Теперь, если мы проведем радиус OC, то мы увидим, что угол OCP также равен 90 градусам, так как CD перпендикулярно AB. Это значит, что точка O лежит на перпендикуляре, проведённом к хорде CD в точке P, и, следовательно, CD проходит через центр O.
7. Заключение: Таким образом, хорда CD является диаметром окружности, так как она проходит через центр окружности O и пересекает хорду AB под прямым углом в точке P, которая является её серединой.

Таким образом, мы доказали, что если две хорды пересекаются под прямым углом и одна из них делится пополам в точке пересечения, то другая хорда является диаметром окружности.