Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник, в котором одна сторона на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120 градусам. Также известно, что третья сторона равна 21 см.

Обозначим стороны треугольника:

• Первая сторона - a
• Вторая сторона - b = a + 6 см
• Третья сторона - c = 21 см

Теперь мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти длины сторон a и b. Закон косинусов звучит следующим образом:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где γ - угол между сторонами a и b. В нашем случае γ = 120 градусов.

Значение cos(120°) равно -0.5. Подставим все известные значения в формулу:

21² = a² + (a + 6)² - 2 * a * (a + 6) * (-0.5)

Теперь начнем решать уравнение:

1. 21² = 441
2. Раскроем скобки: (a + 6)² = a² + 12a + 36
3. Подставим в уравнение:

441 = a² + (a² + 12a + 36) + a * (a + 6)

Соберем все члены:

441 = 2a² + 12a + 36 + a² + 6a

Теперь упростим уравнение:

441 = 3a² + 18a + 36

Переносим все в одну сторону:

3a² + 18a + 36 - 441 = 0

3a² + 18a - 405 = 0

Теперь упростим уравнение, поделив все на 3:

a² + 6a - 135 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-135) = 36 + 540 = 576

Находим корни:

a = (-b ± √D) / 2a = (-6 ± √576) / 2 = (-6 ± 24) / 2

Теперь вычислим два возможных значения:

• a1 = (18) / 2 = 9 см
• a2 = (-30) / 2 = -15 см (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, a = 9 см. Теперь найдем b:

b = a + 6 = 9 + 6 = 15 см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника:

• a = 9 см
• b = 15 см
• c = 21 см

Теперь можем найти периметр треугольника:

Периметр P = a + b + c = 9 + 15 + 21 = 45 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 45 см.