Для того чтобы найти расстояние между точкой A и плоскостью DBC1 в единичном кубе ABCDA1B1C1D1, давайте сначала определим координаты всех вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь найдем уравнение плоскости DBC1. Для этого нам нужно определить векторы, которые лежат в этой плоскости. Мы можем взять два вектора, соединяющие точки D, B и C1:

• Вектор DB: B - D = (1, 0, 0) - (0, 1, 0) = (1, -1, 0)
• Вектор DC1: C1 - D = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1)

Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости, взяв векторное произведение векторов DB и DC1:

n = DB x DC1 = |i j k|
|1 -1 0|
|1 0 1|

Вычисляя детерминант, получаем:

• n = (1*1 - 0*(-1))i - (1*1 - 0*1)j + (1*(-1) - (-1)*1)k
• n = (1)i - (1)j + (0)k = (1, -1, 0)

Теперь у нас есть нормальный вектор (1, -1, 0) и одна из точек на плоскости, например, точка D(0, 1, 0). Уравнение плоскости можно записать в виде:

1*(x - 0) - 1*(y - 1) + 0*(z - 0) = 0

Упрощая, получаем:

x - y + 1 = 0

Теперь мы можем найти расстояние от точки A(0, 0, 0) до плоскости. Формула для расстояния от точки до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 выглядит так:

Расстояние = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Где (x0, y0, z0) - координаты точки A, а A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости. В нашем случае:

• A = 1
• B = -1
• C = 0
• D = 1

Подставляем значения:

• Расстояние = |1*0 + (-1)*0 + 0*0 + 1| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2)
• Расстояние = |0 + 0 + 0 + 1| / sqrt(1 + 1 + 0)
• Расстояние = |1| / sqrt(2)
• Расстояние = 1 / sqrt(2)

Таким образом, расстояние между точкой A и плоскостью DBC1 равно 1 / sqrt(2).