Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции АВСК, давайте разберем шаги решения:

1. Определение параметров трапеции:
   • Трапеция АВСК прямоугольная, значит, угол В = 90 градусов.
   • Большая боковая сторона АВ = 3√2 см.
   • Угол К = 45 градусов.
   • Высота СН делит основание АК пополам, следовательно, АН = НК.
2. Использование свойств прямоугольной трапеции:
   • В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
   • Т.к. угол К = 45 градусов, треугольник СНК равнобедренный, и СН = НК.
3. Вычисление длины основания АК:
   • Поскольку СН = НК, а угол К = 45 градусов, треугольник СНК является равнобедренным прямоугольным треугольником.
   • Высота СН = НК = АВ * sin(45) = 3√2 * √2/2 = 3 см.
   • Таким образом, АН = НК = 3 см, и АК = АН + НК = 6 см.
4. Вычисление площади трапеции:
   • Площадь трапеции вычисляется по формуле: (сумма оснований) * высота / 2.
   • Основания: АК = 6 см, ВС = 3√2 см.
   • Высота СН = 3 см.
   • Площадь = (6 + 3√2) * 3 / 2.
   • Упрощаем: Площадь = (18 + 9√2) / 2 = 9 + 4.5√2.

Таким образом, площадь трапеции АВСК равна 9 + 4.5√2 квадратных сантиметров.