Чтобы найти длину стороны AB в треугольнике ABC, где угол C в два раза больше угла A, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала обозначим угол A как α, тогда угол C будет равен 2α. Угол B можно найти, используя сумму углов в треугольнике:

• α + B + 2α = 180°
• 3α + B = 180°
• B = 180° - 3α

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны AB, обозначим ее как c. По теореме косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C),

где:

• a = AC = 11,
• b = BC = 25,
• c = AB,
• C = 2α.

Сначала нам нужно найти значение cos(2α). Мы знаем, что:

cos(2α) = cos²(α) - sin²(α).

Также можно использовать формулу:

cos(2α) = 2cos²(α) - 1.

Чтобы найти cos(α), воспользуемся отношением сторон треугольника и углов. Для этого используем закон синусов:

AC/sin(B) = BC/sin(A).

Подставим известные значения:

11/sin(180° - 3α) = 25/sin(α).

Так как sin(180° - x) = sin(x), то у нас получается:

11/sin(3α) = 25/sin(α).

Теперь мы можем выразить sin(3α) через sin(α) с использованием формулы:

sin(3α) = 3sin(α) - 4sin³(α).

Подставляем это в уравнение:

11/(3sin(α) - 4sin³(α)) = 25/sin(α).

После упрощения получаем:

11sin(α) = 25(3sin(α) - 4sin³(α)).

Теперь решаем это уравнение для sin(α). После нахождения sin(α) мы можем найти cos(α) и, соответственно, cos(2α).

После нахождения cos(2α) подставляем его обратно в формулу косинусов:

c² = 11² + 25² - 2 * 11 * 25 * cos(2α).

После вычисления получим значение c, а затем найдем длину стороны AB.

Таким образом, следуя всем этим шагам, мы сможем найти длину стороны AB.