Чтобы найти объем пирамиды с основанием ABC и вершиной D, мы будем использовать формулу для объема пирамиды, которая выражается через координаты её вершин. Объем V пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания (треугольника ABC), h - высота пирамиды, проведенная из вершины D на плоскость основания ABC.

Давайте разбить решение на шаги:

1. Находим координаты вершин A, B и C:
• A(-15, -3, 0)
• B(-2, 3, 11)
• C(9, 1, 3)
2. Находим площадь основания ABC:

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

S = (1/2) * |AB x AC|, где AB и AC - векторы, образованные вершинами A, B и C.

Сначала найдем векторы AB и AC:

• AB = B - A = (-2 + 15, 3 + 3, 11 - 0) = (13, 6, 11)
• AC = C - A = (9 + 15, 1 + 3, 3 - 0) = (24, 4, 3)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

AB x AC = |i j k|

|13 6 11|

|24 4 3|

Вычисляя определитель, получаем:

• i(6*3 - 11*4) - j(13*3 - 11*24) + k(13*4 - 6*24)
• i(18 - 44) - j(39 - 264) + k(52 - 144)
• i(-26) + j(225) + k(-92)

Таким образом, вектор AB x AC = (-26, 225, -92).

Теперь найдем длину этого вектора:

|AB x AC| = √((-26)^2 + (225)^2 + (-92)^2) = √(676 + 50625 + 8464) = √(56625).

Теперь можем найти площадь основания S:

S = (1/2) * √(56625).

3. Находим высоту пирамиды h:

Высота h - это перпендикулярное расстояние от точки D до плоскости ABC. Для этого нам понадобится уравнение плоскости, заданное точками A, B, C.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0, где A, B, C - координаты нормального вектора плоскости.

Нормальный вектор равен вектору AB x AC = (-26, 225, -92).

Подставим координаты одной из точек, например A, чтобы найти D:

-26*(-15) + 225*(-3) + (-92)*0 + D = 0

390 - 675 + D = 0

D = 285.

Таким образом, уравнение плоскости будет:

-26*x + 225*y - 92*z + 285 = 0.

Теперь найдем расстояние от точки D(0, -1, 2) до этой плоскости:

h = |(-26*0 + 225*(-1) - 92*2 + 285)| / √((-26)^2 + (225)^2 + (-92)^2).

h = |0 - 225 - 184 + 285| / √(56625) = |(-225 - 184 + 285)| / √(56625) = |(-124)| / √(56625) = 124 / √(56625).

4. Теперь можем найти объем V:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (1/2) * √(56625) * (124 / √(56625)) = (1/6) * 124 = 20.67.

Таким образом, объем пирамиды равен примерно 20.67 единиц объема.