Какое значение k необходимо подставить в векторы a{0;k}, b{k;-1} и c{1;-1}, чтобы длина вектора a-b-c стала равна 5?

Геометрия 9 класс Векторы и их операции длина вектора векторы à B C значение k геометрия 9 класс Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала запишем векторы a, b и c с учетом переменной k:

• a = {0; k}
• b = {k; -1}
• c = {1; -1}

Теперь найдем вектор a - b - c. Для этого сначала вычислим вектор b + c:

• b + c = {k; -1} + {1; -1} = {k + 1; -1 + (-1)} = {k + 1; -2}

Теперь вычислим a - (b + c):

• a - (b + c) = {0; k} - {k + 1; -2} = {0 - (k + 1); k - (-2)} = {-k - 1; k + 2}

Теперь нам нужно найти длину вектора a - b - c. Длина вектора {x; y} вычисляется по формуле:

длина = sqrt(x^2 + y^2).

В нашем случае:

• x = -k - 1
• y = k + 2

Таким образом, длина вектора a - b - c равна:

длина = sqrt((-k - 1)^2 + (k + 2)^2).

Теперь подставим значение 5 для длины:

sqrt((-k - 1)^2 + (k + 2)^2) = 5.

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(-k - 1)^2 + (k + 2)^2 = 25.

Теперь раскроем скобки:

• (-k - 1)^2 = k^2 + 2k + 1
• (k + 2)^2 = k^2 + 4k + 4

Теперь сложим эти выражения:

• k^2 + 2k + 1 + k^2 + 4k + 4 = 25

Соберем подобные слагаемые:

• 2k^2 + 6k + 5 = 25.

Теперь перенесем 25 влево:

• 2k^2 + 6k + 5 - 25 = 0
• 2k^2 + 6k - 20 = 0.

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2:

• k^2 + 3k - 10 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.

Так как D > 0, у нас есть два корня:

• k1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2.
• k2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5.

Таким образом, значения k, которые удовлетворяют условию задачи, это k = 2 и k = -5.