Для решения задачи начнем с того, что обозначим координаты вершин прямоугольника ABCD. Пусть:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

Теперь определим точку K на стороне BC. По условию, отношение BK:KC = 3:4. Это означает, что отрезок BK составляет 3 части, а отрезок KC – 4 части. В сумме это дает 3 + 4 = 7 частей.

Теперь найдем координаты точки K. Поскольку K находится на стороне BC, его координаты можно выразить через координаты B и C. Мы можем использовать параметр t, который будет определять положение точки K на отрезке BC:

Координаты точки K можно записать следующим образом:

• K = (a, y), где y = b * (3/7).

Теперь у нас есть координаты точки K. Теперь мы можем выразить векторы AK и DK через векторы a и b.

Вектор AK можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки K:

• AK = K - A = (a, b * (3/7)) - (0, 0) = (a, b * (3/7)).

Теперь представим этот вектор через векторы a и b:

• AK = (a, 0) + (0, b * (3/7)) = a + (3/7)b.

Теперь перейдем к вектору DK. Для этого вычтем координаты точки D из координат точки K:

• DK = K - D = (a, b * (3/7)) - (0, b) = (a, b * (3/7) - b) = (a, b * (3/7) - (7/7)b) = (a, -b * (4/7)).

Теперь выразим этот вектор через векторы a и b:

• DK = (a, 0) + (0, -b * (4/7)) = a - (4/7)b.

Таким образом, мы получили векторы AK и DK:

• AK = a + (3/7)b
• DK = a - (4/7)b

Это и есть искомые векторы, выраженные через векторы a и b.