Для решения данной задачи необходимо проанализировать логическое выражение и определить, при каких значениях A оно будет истинным для всех натуральных чисел x.

Рассмотрим выражение:

(x & A ≠ 0) → (((x & 698 = 0) → (x & 321 ≠ 0))).

Это выражение имеет вид "если P, то Q", где:

• P: x & A ≠ 0
• Q: (x & 698 = 0) → (x & 321 ≠ 0)

Чтобы выражение было тождественно истинно, нам нужно, чтобы либо P было ложным (то есть x & A = 0), либо Q было истинным.

Теперь проанализируем Q:

Q будет истинным в следующих случаях:

• Если x & 698 ≠ 0 (в этом случае условие x & 698 = 0 не выполняется, и следовательно Q истинно независимо от x & 321).
• Если x & 698 = 0, тогда должно выполняться x & 321 ≠ 0 для истинности Q.

Теперь определим, при каких значениях A будет выполняться условие P (x & A ≠ 0). Если A имеет общие биты с 698, то существует возможность, что x & 698 = 0 и x & A ≠ 0, что приведет к необходимости проверять Q.

Чтобы Q было истинным для всех x, необходимо, чтобы x & 321 ≠ 0 всегда выполнялось, когда x & 698 = 0. Это означает, что 321 не должно иметь общих битов с 698, иначе найдутся такие x, что x & 698 = 0 и x & 321 = 0, что сделает Q ложным.

Теперь определим биты чисел 698 и 321:

• 698 в двоичном виде: 1010111010
• 321 в двоичном виде: 101000001

Сравнив биты, мы видим, что у них есть общие единичные биты, что делает Q потенциально ложным для некоторых значений x.

Теперь вернемся к A. Мы хотим, чтобы A не имело общих битов с 698, чтобы P не могло быть истинным, когда Q ложно. Поэтому A должно быть выбрано так, чтобы A & 698 = 0.

Наибольшее значение A, которое не имеет общих битов с 698, будет равно 321, так как все биты 321, которые могут быть установлены, не пересекаются с битами 698.

Таким образом, наибольшее натуральное число A, такое что выражение тождественно истинно, равно: