Как найти решение уравнения с логарифмами: log11 (x+4) + log11 (x-7) = log11 (7-x)?

Математика 10 класс Уравнения с логарифмами уравнение с логарифмами решение уравнения Логарифмическое уравнение математика 10 класс логарифмы нахождение x алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение с логарифмами: log11 (x+4) + log11 (x-7) = log11 (7-x), мы можем воспользоваться свойствами логарифмов.

Во-первых, мы знаем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:

• log11 (x+4) + log11 (x-7) = log11 ((x+4)(x-7))

Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

log11 ((x+4)(x-7)) = log11 (7-x)

Теперь, когда у нас есть логарифмы с одинаковым основанием, мы можем избавиться от логарифмов, приравняв аргументы:

(x+4)(x-7) = 7-x

Теперь раскроем скобки на левой стороне уравнения:

• (x+4)(x-7) = x^2 - 7x + 4x - 28 = x^2 - 3x - 28

Теперь у нас есть уравнение:

x^2 - 3x - 28 = 7 - x

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

x^2 - 3x + x - 28 - 7 = 0

Упрощаем уравнение:

x^2 - 2x - 35 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -2, c = -35. Подставим значения:

• b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144

Теперь находим корни:

• x = (2 ± √144) / 2
• x = (2 ± 12) / 2

Это дает нам два значения:

• x1 = (2 + 12) / 2 = 14 / 2 = 7
• x2 = (2 - 12) / 2 = -10 / 2 = -5

Теперь нам нужно проверить, подходят ли найденные значения для логарифмов. Логарифм определён только для положительных аргументов.

• Для x = 7: log11 (7 + 4) = log11(11) (определён), log11 (7 - 7) (не определён)
• Для x = -5: log11 (-5 + 4) (не определён), log11 (-5 - 7) (не определён)

Таким образом, ни одно из найденных значений не подходит, так как в обоих случаях мы получаем логарифмы с отрицательными аргументами.

Следовательно, уравнение log11 (x+4) + log11 (x-7) = log11 (7-x) не имеет решений.