Помогите, пожалуйста: как решить уравнение lg x = 1 - x?

Математика 10 класс Уравнения с логарифмами уравнение решить уравнение логарифм lg x математика 10 класс математические задачи решение уравнений Новый

Чтобы решить уравнение lg x = 1 - x, давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти решение.

1. Определим область определения:
   • Функция lg x определена только для x > 0. Поэтому мы должны учитывать, что x должно быть положительным.
2. Перепишем уравнение:
   • Мы имеем уравнение lg x = 1 - x. Это уравнение можно переписать в виде:
   • lg x + x - 1 = 0.
3. Рассмотрим функцию:
   • Обозначим f(x) = lg x + x - 1. Теперь мы будем исследовать эту функцию.
4. Найдем производную:
   • f'(x) = 1/x + 1. Поскольку 1/x > 0 для x > 0, то f'(x) > 0. Это значит, что функция f(x) возрастает на всей области определения.
5. Найдем значения функции в крайних точках:
   • Подставим x = 1: f(1) = lg(1) + 1 - 1 = 0.
   • Подставим x = 0.1: f(0.1) = lg(0.1) + 0.1 - 1. Поскольку lg(0.1) = -1, то f(0.1) = -1 + 0.1 - 1 = -1.9 (отрицательное значение).
   • Подставим x = 2: f(2) = lg(2) + 2 - 1 ≈ 0.301 + 2 - 1 = 1.301 (положительное значение).
6. Используем теорему о промежуточном значении:
   • Поскольку f(0.1) < 0 и f(1) = 0, а также f(2) > 0, это значит, что между 0.1 и 1 есть корень уравнения.
7. Приближенное решение:
   • Мы можем использовать метод подбора или численные методы, чтобы найти более точное значение корня. Например, подставляя значения между 0.1 и 1, мы можем найти, что корень находится примерно в пределах 0.5 и 0.7.

Таким образом, у нас есть одно решение уравнения lg x = 1 - x, которое находится в интервале (0.1, 1). Для получения более точного значения можно использовать численные методы, такие как метод бисекции или метод Ньютона.