Как решить неравенство √(x^2 + 3x - 4) ≥ 3x - 2?

Математика 10 класс Неравенства решение неравенства неравенство с корнем математика 10 класс алгебра квадратные корни неравенства методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство √(x² + 3x - 4) ≥ 3x - 2, следуем следующим шагам:

1. Определим область определения:
   • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x² + 3x - 4 ≥ 0.
   • Решим квадратное неравенство x² + 3x - 4 = 0 с помощью дискриминанта.
2. Находим дискриминант:
   • D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.
   • Корни уравнения: x₁ = (-b + √D) / 2a и x₂ = (-b - √D) / 2a.
   • Подставляем значения: x₁ = (-3 + 5) / 2 = 1 и x₂ = (-3 - 5) / 2 = -4.
3. Решаем неравенство x² + 3x - 4 ≥ 0:
   • Корни уравнения -4 и 1 делят числовую ось на три интервала: (-∞, -4), (-4, 1) и (1, +∞).
   • Проверяем знак функции на каждом интервале:
   • Для x < -4 (например, x = -5): (-5)² + 3*(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 (положительно).
   • Для -4 < x < 1 (например, x = 0): 0² + 3*0 - 4 = -4 (отрицательно).
   • Для x > 1 (например, x = 2): 2² + 3*2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 (положительно).
   • Таким образом, x² + 3x - 4 ≥ 0 для x ∈ (-∞, -4] ∪ [1, +∞).
4. Решаем основное неравенство:
   • Теперь решим неравенство √(x² + 3x - 4) ≥ 3x - 2.
   • Квадратируем обе части неравенства (учитывая, что правая часть не должна быть отрицательной):
   • Получаем x² + 3x - 4 ≥ (3x - 2)².
   • Раскрываем скобки: x² + 3x - 4 ≥ 9x² - 12x + 4.
   • Переносим все в одну сторону: 0 ≥ 8x² - 15x + 8.
   • Умножаем на -1 (изменяем знак неравенства): 0 ≤ 8x² - 15x + 8.
5. Решаем новое квадратное неравенство:
   • Находим дискриминант D = (-15)² - 4 * 8 * 8 = 225 - 256 = -31 (отрицательный).
   • Это значит, что выражение 8x² - 15x + 8 всегда положительно.
6. Объединяем результаты:
   • Учитывая область определения и то, что основное неравенство выполняется для всех x, получаем, что решение:
   • x ∈ (-∞, -4] ∪ [1, +∞).

Таким образом, окончательный ответ: x ∈ (-∞, -4] ∪ [1, +∞).