Как решить неравенство:

√x^2-9(x^2-4x+4)<=0?

Математика 10 класс Неравенства неравенство решение неравенства математика квадратный корень алгебраические выражения неравенства с корнями Новый

Для решения неравенства √(x²) - 9(x² - 4x + 4) ≤ 0, необходимо следовать определённым шагам. Давайте подробно рассмотрим процесс решения.

Шаг 1: Упростим выражение под корнем

Начнем с того, что упростим неравенство. В данном случае, √(x²) равняется |x|, однако для решения неравенства это не принципиально. Вместо этого мы можем просто рассмотреть выражение под корнем:

Неравенство можно записать как:

√(x²) - 9(x² - 4x + 4) ≤ 0

Шаг 2: Раскроем скобки

Раскроем скобки в выражении:

• 9(x² - 4x + 4) = 9x² - 36x + 36.

Теперь подставим это обратно в неравенство:

√(x²) - (9x² - 36x + 36) ≤ 0

Шаг 3: Упростим неравенство

Теперь упростим неравенство:

√(x²) - 9x² + 36x - 36 ≤ 0

Это можно записать как:

|x| - 9x² + 36x - 36 ≤ 0

Шаг 4: Рассмотрим два случая

Поскольку у нас есть модуль, нужно рассмотреть два случая: когда x ≥ 0 и x < 0.

Случай 1: x ≥ 0

• Тогда |x| = x.
• Неравенство становится: x - 9x² + 36x - 36 ≤ 0.
• Упрощаем: -9x² + 37x - 36 ≤ 0.

Случай 2: x < 0

• Тогда |x| = -x.
• Неравенство становится: -x - 9x² + 36x - 36 ≤ 0.
• Упрощаем: -9x² + 35x - 36 ≤ 0.

Шаг 5: Найдем корни квадратных уравнений

Теперь нам необходимо решить два квадратных неравенства.

Для первого неравенства:

-9x² + 37x - 36 = 0.

Используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 37² - 4*(-9)*(-36) = 1369 - 1296 = 73.

Корни будут:

• x1 = (37 + √73) / 18,
• x2 = (37 - √73) / 18.

Для второго неравенства:

-9x² + 35x - 36 = 0.

Используем дискриминант:

• D = 35² - 4*(-9)*(-36) = 1225 - 1296 = -71.

Так как дискриминант отрицательный, это неравенство не имеет действительных корней.

Шаг 6: Определим промежутки

Теперь определим знаки для первого неравенства. Мы знаем, что парабола открыта вниз (коэффициент при x² отрицательный).

Неравенство будет выполняться между корнями:

(37 - √73) / 18 ≤ x ≤ (37 + √73) / 18.

Шаг 7: Проверка на границах

Проверяем значения на границах и в промежутках, чтобы убедиться, что неравенство выполняется.

Таким образом, окончательное решение неравенства √(x²) - 9(x² - 4x + 4) ≤ 0 будет:

x ∈ [(37 - √73) / 18, (37 + √73) / 18].