Давайте разберемся с каждой частью задачи по порядку.

1) Сумма 864 + x:

Для начала найдем остаток от деления числа 864 на 3.

• Сложим цифры числа 864: 8 + 6 + 4 = 18.
• Поскольку 18 делится на 3, то и 864 делится на 3.
• Это значит, что 864 имеет остаток 0 при делении на 3.

Теперь рассмотрим две ситуации:

1. a) Сумма делится на 3:
• Сумма 864 + x будет делиться на 3, если x также делится на 3.
• Следовательно, x может быть любым натуральным числом, которое делится на 3 (например, 3, 6, 9 и т.д.).
2. b) Сумма не делится на 3:
• Сумма 864 + x не будет делиться на 3, если x не делится на 3.
• Таким образом, x может быть любым натуральным числом, которое не делится на 3 (например, 1, 2, 4, 5, 7, 8 и т.д.).

2) Разность 510 - x:

Теперь найдем остаток от деления числа 510 на 10.

• Последняя цифра числа 510 - это 0, значит, 510 делится на 10.

Теперь рассмотрим две ситуации:

1. a) Разность делится на 10:
• Разность 510 - x будет делиться на 10, если последняя цифра числа x будет равна 0.
• Таким образом, x может быть любым натуральным числом, которое оканчивается на 0 (например, 10, 20, 30 и т.д.).
2. b) Разность не делится на 10:
• Разность 510 - x не будет делиться на 10, если последняя цифра числа x не равна 0.
• Следовательно, x может быть любым натуральным числом, которое не оканчивается на 0 (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и т.д.).

Таким образом, мы нашли натуральные числа x для каждой ситуации:

• 1) Сумма 864 + x:
• a) x делится на 3;
• b) x не делится на 3.
• 2) Разность 510 - x:
• a) x оканчивается на 0;
• b) x не оканчивается на 0.