Помогите решить неравенство!

log_0.2 (x²-2x-3) >= -1

Математика 10 класс Неравенства с логарифмами неравенство математика логарифмы решение неравенства x^2-2x-3 логарифм математические задачи Новый

Для решения неравенства log_0.2 (x² - 2x - 3) >= -1 начнем с преобразования логарифмического неравенства.

Первым шагом мы можем переписать неравенство в экспоненциальной форме. Логарифм с основанием 0.2 равен -1, если:

x² - 2x - 3 <= 0.2^-1

Поскольку 0.2^-1 = 5, мы можем записать:

x² - 2x - 3 <= 5

Теперь упростим это неравенство:

• Переносим 5 влево:

x² - 2x - 8 <= 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

x² - 2x - 8 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = -2, c = -8. Подставим значения:

x = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * (-8))) / (2 * 1)

x = (2 ± √(4 + 32)) / 2

x = (2 ± √36) / 2

x = (2 ± 6) / 2

Теперь найдем корни:

• x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
• x₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Корни уравнения: x₁ = 4 и x₂ = -2.

Теперь мы можем нарисовать числовую прямую и определить знаки на интервалах:

• Интервал (-∞, -2)
• Интервал (-2, 4)
• Интервал (4, +∞)

Проверим знак выражения x² - 2x - 8 на каждом из интервалов:

• Для x < -2 (например, x = -3): (-3)² - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0
• Для -2 < x < 4 (например, x = 0): (0)² - 2*0 - 8 = -8 < 0
• Для x > 4 (например, x = 5): (5)² - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0

Таким образом, мы определили, что:

• На интервале (-∞, -2) значение положительно.
• На интервале (-2, 4) значение отрицательно.
• На интервале (4, +∞) значение положительно.

Поскольку мы ищем, где x² - 2x - 8 <= 0, это выполняется на интервале (-2, 4].

Теперь, учитывая, что логарифм определен только для положительных аргументов, нам нужно решить неравенство:

x² - 2x - 3 > 0

Находим корни данного уравнения:

x² - 2x - 3 = 0

Используя ту же формулу, получаем:

x = (2 ± √(4 + 12)) / 2 = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2

Корни: x₁ = 3 и x₂ = -1.

Теперь определяем, где x² - 2x - 3 > 0:

• Для x < -1 (например, x = -2): положительно.
• Для -1 < x < 3 (например, x = 0): отрицательно.
• Для x > 3 (например, x = 4): положительно.

Таким образом, логарифм определен для интервалов (-∞, -1) ∪ (3, +∞).

Объединяя оба условия, получаем:

x ∈ (-2, -1) ∪ (3, 4].

Это и есть окончательный ответ.