В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и третьего члена составляет 20, а сумма первых трех членов равна 26. Как можно определить четвертый член этой геометрической прогрессии?

Математика 10 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов четвертый член математика 10 класс задачи на прогрессии Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как r. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: ar
• Третий член: ar²

Согласно условию задачи, сумма первого и третьего членов составляет 20. Мы можем записать это уравнение:

1. Уравнение для суммы первого и третьего членов:

a + ar² = 20

Также нам известно, что сумма первых трех членов равна 26. Запишем это уравнение:

2. Уравнение для суммы первых трех членов:

a + ar + ar² = 26

Теперь у нас есть две системы уравнений. Мы можем выразить одно из уравнений через другое. Давайте начнем с первого уравнения:

3. Выразим a из первого уравнения:

a(1 + r²) = 20

a = 20 / (1 + r²)

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

4. Подстановка в уравнение суммы первых трех членов:

20 / (1 + r²) + (20 / (1 + r²))r + (20 / (1 + r²))r² = 26

Упростим это уравнение:

5. Упрощение:

20(1 + r + r²) / (1 + r²) = 26

Теперь умножим обе стороны на (1 + r²):

6. Умножение на (1 + r²):

20(1 + r + r²) = 26(1 + r²)

Раскроем скобки:

7. Раскрытие скобок:

20 + 20r + 20r² = 26 + 26r²

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

8. Перенос членов:

20 + 20r + 20r² - 26 - 26r² = 0

-6r² + 20r - 6 = 0

Упростим это уравнение, разделив его на -2:

9. Упрощение уравнения:

3r² - 10r + 3 = 0

Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:

10. Формула дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64

Так как D больше нуля, у нас есть два различных корня:

11. Находим корни:

r = (10 ± √64) / (2 * 3) = (10 ± 8) / 6

Это дает нам два значения:

• r1 = (10 + 8) / 6 = 3
• r2 = (10 - 8) / 6 = 1/3

Теперь подставим эти значения r обратно, чтобы найти a:

12. Находим a для r1:

Если r = 3, то a = 20 / (1 + 3²) = 20 / 10 = 2

13. Находим a для r2:

Если r = 1/3, то a = 20 / (1 + (1/3)²) = 20 / (1 + 1/9) = 20 / (10/9) = 18

Теперь у нас есть два случая:

14. Члены прогрессии:

• Для r = 3: члены 2, 6, 18, 54
• Для r = 1/3: члены 18, 6, 2, 2/3

Теперь найдем четвертый член в обоих случаях:

15. Четвертые члены:

• Для r = 3: 54
• Для r = 1/3: 2/3

Таким образом, четвертый член геометрической прогрессии может быть равен либо 54, либо 2/3, в зависимости от выбранного знаменателя.