Является ли прямая y=2x+4 касательной к графику функции y=ax^2+8x+7? Найдите значение a и приведите подробное решение.

Математика 10 класс Касательные к графикам функций касательная прямая график функции значение a решение задачи математика уравнение прямой парабола нахождение a математический анализ геометрия функций Новый

Чтобы определить, является ли прямая y=2x+4 касательной к графику функции y=ax^2+8x+7, необходимо выполнить несколько шагов, связанных с анализом касательных и нахождением точек их пересечения.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная функции y=ax^2+8x+7 определяет наклон касательной к графику функции в любой точке x. Найдем производную:

• y' = d/dx (ax^2 + 8x + 7) = 2ax + 8.

Шаг 2: Установим условие касания

Прямая y=2x+4 будет касательной к графику функции, если в точке касания наклон (производная) будет равен угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент прямой y=2x+4 равен 2. Таким образом, мы должны решить уравнение:

• 2ax + 8 = 2.

Шаг 3: Найдем значение x в точке касания

Перепишем уравнение:

• 2ax = 2 - 8.
• 2ax = -6.
• ax = -3.
• x = -3/a.

Шаг 4: Подставим x в уравнение функции

Теперь подставим найденное значение x в уравнение функции, чтобы найти значение y:

• y = a(-3/a)^2 + 8(-3/a) + 7.
• y = a(9/a^2) - 24/a + 7.
• y = 9/a - 24/a + 7.
• y = -15/a + 7.

Шаг 5: Подставим x в уравнение прямой

Теперь подставим x = -3/a в уравнение прямой y=2x+4:

• y = 2(-3/a) + 4.
• y = -6/a + 4.

Шаг 6: Установим равенство y

Так как прямая и парабола должны пересекаться в одной точке, приравняем значения y:

• -15/a + 7 = -6/a + 4.

Шаг 7: Упростим уравнение

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

• -15/a + 6/a + 7 - 4 = 0.
• -9/a + 3 = 0.

Шаг 8: Найдем значение a

Умножим обе стороны на a (при условии, что a не равно 0):

• -9 + 3a = 0.
• 3a = 9.
• a = 3.

Шаг 9: Проверка

Теперь мы можем проверить, является ли прямая касательной к графику функции с a=3. Подставим a=3 в уравнение функции:

• y = 3x^2 + 8x + 7.

Находим производную:

• y' = 6x + 8.

При x = -1 (так как x = -3/3 = -1):

• y' = 6(-1) + 8 = 2.

Таким образом, наклон касательной равен 2, что соответствует угловому коэффициенту прямой y=2x+4.

Вывод: Прямая y=2x+4 является касательной к графику функции y=3x^2+8x+7 при a=3.