Замените в числе 35*** звездочки разными ЧЕТНЫМИ цифрами так, чтобы итоговое число делилось на 90. Сколько различных чисел можно получить? Обоснуйте свой ответ.

Математика 10 класс Делимость чисел математика 10 класс задачи на делимость числа делящиеся на 90 четные цифры комбинаторика замена цифр количество чисел математическая логика Новый

Чтобы число делилось на 90, оно должно удовлетворять двум условиям:

• Делимость на 10: число должно оканчиваться на 0.
• Делимость на 9: сумма всех цифр числа должна делиться на 9.

Рассмотрим число 35***, где звёздочки обозначают недостающие цифры. Поскольку число должно оканчиваться на 0, то последняя звёздочка заменяется на 0. Таким образом, наше число принимает вид 35**0.

Теперь у нас есть две оставшиеся звёздочки, которые мы можем заменить на четные цифры. Четные цифры от 0 до 8 включают: 0, 2, 4, 6 и 8. Однако, поскольку одна из цифр уже занята (последняя звёздочка заменена на 0), нам нужно использовать только 2, 4, 6 и 8 для замены двух оставшихся звёздочек.

Сначала найдем сумму цифр числа:

• Сумма фиксированных цифр: 3 + 5 + 0 = 8.
• Сумма оставшихся двух четных цифр: x + y, где x и y – четные цифры, которые мы выбираем.

Таким образом, сумма всех цифр будет равна 8 + x + y. Для делимости на 9 эта сумма должна делиться на 9. Это значит, что (8 + x + y) % 9 = 0.

Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации четных цифр:

• Если x = 2, y может быть 2, 4, 6, 8. Сумма будет 10, 12, 14, 16.
• Если x = 4, y может быть 2, 4, 6, 8. Сумма будет 12, 14, 16, 18.
• Если x = 6, y может быть 2, 4, 6, 8. Сумма будет 14, 16, 18, 20.
• Если x = 8, y может быть 2, 4, 6, 8. Сумма будет 16, 18, 20, 22.

Теперь проверим, какие из этих сумм делятся на 9:

• Сумма 10: не делится на 9.
• Сумма 12: не делится на 9.
• Сумма 14: не делится на 9.
• Сумма 16: не делится на 9.
• Сумма 18: делится на 9.
• Сумма 20: не делится на 9.
• Сумма 22: не делится на 9.

Таким образом, единственная сумма, которая делится на 9, это 18. Это означает, что x + y = 10.

Теперь найдем все пары четных цифр, которые в сумме дают 10:

• (2, 8)
• (4, 6)
• (6, 4)
• (8, 2)

Каждая пара дает одно уникальное число, но порядок цифр важен. Таким образом, у нас есть 4 пары, а для каждой пары можно переставить цифры, что дает:

• Пара (2, 8) дает 2 числа: 35280, 35820.
• Пара (4, 6) дает 2 числа: 35460, 35640.
• Пара (6, 4) дает 2 числа: 35640, 35460 (уже посчитаны).
• Пара (8, 2) дает 2 числа: 35820, 35280 (уже посчитаны).

Таким образом, уникальные числа: 35280, 35820, 35460, 35640. Всего мы получили 4 уникальных числа.

Ответ: 4 различных числа можно получить, заменяя звездочки четными цифрами так, чтобы итоговое число делилось на 90.