Похожие вопросы
2025-10-29 09:35:01
1. Для функции f(x) = 4/x^2 + x найдите первообразную, которая проходит через точку A(4; 13).
Математика 11 класс Интегралы и первообразные функция f(x) первообразная точка A(4; 13) математика 11 класс интегрирование нахождение первообразной задачи по математике Новый
2025-10-29 09:35:19
Для нахождения первообразной функции f(x) = 4/x^2 + x, нам необходимо выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем первообразную функции f(x).
- Функция f(x) состоит из двух частей: 4/x^2 и x. Мы можем разложить это на два отдельных интеграла.
- Запишем функцию в более удобном виде: f(x) = 4x^(-2) + x.
- Теперь найдем первообразные для каждой части:
- Для первой части 4x^(-2):
- Первообразная от x^n (где n ≠ -1) равна (x^(n+1))/(n+1). В нашем случае n = -2.
- Первообразная будет равна 4 * (x^(-1))/( -1) = -4/x.
- Для второй части x:
- Первообразная от x равна (x^(1+1))/(1+1) = x^2/2.
Теперь объединим результаты:
F(x) = -4/x + x^2/2 + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 2: Найдем значение константы C, используя точку A(4; 13).
- Подставим x = 4 в F(x) и приравняем к 13:
- F(4) = -4/4 + 4^2/2 + C = 13.
- Посчитаем: -1 + 16/2 + C = 13.
- 16/2 = 8, следовательно: -1 + 8 + C = 13.
- Теперь упростим: 7 + C = 13.
- Отсюда находим C: C = 13 - 7 = 6.
Шаг 3: Запишем окончательную первообразную.
Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку A(4; 13), будет:
F(x) = -4/x + x^2/2 + 6.