Чтобы найти остаток при делении суммы чисел 1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{100} на 10, сначала нужно определить саму сумму.

Сумма чисел имеет вид:

• 1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{100} = 1 + (4^2 + 4^3 + ... + 4^{100})

Внутренняя часть (4^2 + 4^3 + ... + 4^{100}) является геометрической прогрессией, где:

• первый член a = 4^2 = 16,
• последний член l = 4^{100},
• число членов n = 100 - 2 + 1 = 99,
• знаменатель q = 4.

Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S = a * (q^n - 1) / (q - 1),

где a - первый член, q - знаменатель, n - количество членов.

Подставим наши значения:

S = 16 * (4^{99} - 1) / (4 - 1) = 16 * (4^{99} - 1) / 3.

Теперь добавим 1 к этой сумме:

Сумма = 1 + S = 1 + 16 * (4^{99} - 1) / 3.

Теперь мы хотим найти остаток от деления этой суммы на 10. Для этого сначала найдем остаток от 4^n при делении на 10.

Обратим внимание на остатки от деления степеней 4 на 10:

• 4^1 = 4 (остаток 4),
• 4^2 = 16 (остаток 6),
• 4^3 = 64 (остаток 4),
• 4^4 = 256 (остаток 6).

Мы видим, что остатки повторяются с периодом 2: 4, 6, 4, 6 и так далее.

Теперь найдем, какой остаток будет у 4^{99}:

• 99 - нечетное число, значит, остаток будет 4.

Теперь подставим это значение в нашу сумму:

Сумма = 1 + 16 * (4 - 1) / 3 = 1 + 16 * 3 / 3 = 1 + 16 = 17.

Теперь найдем остаток от 17 при делении на 10:

• 17 mod 10 = 7.

Таким образом, остаток при делении суммы 1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{100} на 10 равен 7.