Как решить пример с многоточиями: 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 2023 × 2024?

Математика 11 класс Суммы и последовательности многоточия пример с многоточиями решение примера математика 11 класс последовательности арифметическая прогрессия умножение и сложение математические задачи решение задач по математике Новый

Чтобы решить пример с многоточиями: 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 2023 × 2024, мы можем воспользоваться формулой для суммы произведений последовательных чисел.

Обозначим сумму, которую нам нужно найти, как S:

S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 2023 × 2024

Каждый член суммы можно записать в виде:

n × (n + 1)

где n – это последовательные натуральные числа от 1 до 2023.

Теперь мы можем переписать S как:

S = Σ (n × (n + 1)), где n = 1 до 2023.

Раскроем скобки:

S = Σ (n² + n)

Теперь мы можем разделить сумму на две части:

S = Σ n² + Σ n

Теперь найдем каждую из этих сумм отдельно:

1. Сумма квадратов:

Сумма квадратов первых n натуральных чисел дается формулой:

Σ n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

Подставим n = 2023:

Σ n² = 2023 × 2024 × 4047 / 6

2. Сумма натуральных чисел:

Сумма первых n натуральных чисел дается формулой:

Σ n = n(n + 1) / 2

Подставим n = 2023:

Σ n = 2023 × 2024 / 2

Теперь подставим полученные значения обратно в S:

S = (2023 × 2024 × 4047 / 6) + (2023 × 2024 / 2)

Чтобы сложить эти два выражения, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

S = (2023 × 2024 × 4047 / 6) + (3 × 2023 × 2024 / 6)

S = (2023 × 2024 × (4047 + 3)) / 6

S = (2023 × 2024 × 4050) / 6

Теперь можно произвести окончательные вычисления, чтобы найти значение S:

S = 2023 × 2024 × 675

Таким образом, сумма 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 2023 × 2024 равна 2023 × 2024 × 675.