Давайте поэтапно решим все задачи, связанные с треугольником ABC, у которого вершины имеют координаты A(7,1), B(9,2) и C(0,3).

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Для этого используем формулу для нахождения углового коэффициента (k):

• k = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) = A(7, 1) и (x2, y2) = B(9, 2).

Подставляем значения:

• k = (2 - 1) / (9 - 7) = 1 / 2.

Теперь используем уравнение прямой в общем виде: y - y1 = k(x - x1).

• y - 1 = (1/2)(x - 7).

Упрощаем это уравнение:

• y - 1 = (1/2)x - 3.5
• y = (1/2)x - 2.5.

Таким образом, уравнение стороны AB: y = (1/2)x - 2.5.

Теперь найдем длину отрезка AB:

• Длина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((9 - 7)² + (2 - 1)²) = √(4 + 1) = √5.

Высота CH перпендикулярна стороне AB, следовательно, ее угловой коэффициент равен -1/k:

• k_CH = -2.

Теперь найдем уравнение прямой CH, которая проходит через точку C(0,3):

• y - 3 = -2(x - 0),
• y = -2x + 3.

Теперь найдем длину высоты CH. Для этого найдем расстояние от точки C до прямой AB, используя формулу:

• d = |Ax + By + C| / √(A² + B²), где A, B, C - коэффициенты уравнения прямой AB.

Уравнение AB можно записать в виде: (1/2)x - y - 2.5 = 0, тогда A = 1/2, B = -1, C = -2.5.

Подставляем координаты C(0,3):

• d = |(1/2)*0 + (-1)*3 - 2.5| / √((1/2)² + (-1)²) = |-3 - 2.5| / √(1/4 + 1) = 5.5 / √(5/4) = 5.5 * (2/√5) = 11/√5.

Сначала найдем координаты середины отрезка BC, точка M:

• M = ((xB + xC)/2, (yB + yC)/2) = ((9 + 0)/2, (2 + 3)/2) = (4.5, 2.5).

Теперь найдем угловой коэффициент AM:

• k_AM = (yM - yA) / (xM - xA) = (2.5 - 1) / (4.5 - 7) = 1.5 / -2.5 = -0.6.

Уравнение медианы AM:

• y - 1 = -0.6(x - 7),
• y = -0.6x + 5.2.

Теперь найдем длину медианы AM:

• AM = √((xM - xA)² + (yM - yA)²) = √((4.5 - 7)² + (2.5 - 1)²) = √((2.5)² + (1.5)²) = √(6.25 + 2.25) = √8.5.

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:

• y = -0.6x + 5.2 (медиана AM),
• y = -2x + 3 (высота CH).

Решаем:

• -0.6x + 5.2 = -2x + 3.
• 1.4x = 2.2, x = 2.2 / 1.4 = 1.57.
• y = -0.6(1.57) + 5.2 = 4.2.

Таким образом, точка N(1.57, 4.2).

Прямая, проходящая через C(0,3), будет иметь такое же угловое значение, как и AB:

• y - 3 = (1/2)(x - 0),
• y = (1/2)x + 3.

Мы уже рассчитали это расстояние ранее, оно равно 11/√5.

Для нахождения угла C, воспользуемся формулой:

• cos C = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC).

Сначала найдем длины AC и BC:

• AC = √((7 - 0)² + (1 - 3)²) = √(49 + 4) = √53.
• BC = √((9 - 0)² + (2 - 3)²) = √(81 + 1) = √82.

Теперь подставим значения:

• AB = √5, AC = √53, BC = √82.
• cos C = (5 + 53 - 82) / (2 * √5 * √53) = -24 / (2 * √5 * √53).

Теперь можем найти угол C, используя арккосинус.

В результате мы нашли все необходимые элементы, связанные с треугольником ABC.

Что касается чертежа, я, к сожалению, не могу его предоставить, но вы можете использовать координаты вершин A, B и C для построения треугольника на графике.