Чтобы понять, как изменится определитель матрицы при замене каждого элемента на элемент, симметричный относительно побочной диагонали, давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Определение побочной диагонали:

• Побочная диагональ матрицы - это диагональ, которая проходит от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

2. Симметричные элементы:

• Если у нас есть элемент a_{ij} матрицы, то его симметричный элемент относительно побочной диагонали будет располагаться в позиции a_{(n-j+1)(n-i+1)}, где n - размерность матрицы.

3. Замена элементов:

• При замене каждого элемента на его симметричный элемент, мы фактически меняем местами элементы, которые находятся на противоположных сторонах побочной диагонали.

4. Влияние на определитель:

• Определитель матрицы обладает свойством, что если мы меняем местами строки или столбцы, то определитель меняет свой знак.
• При замене каждого элемента на его симметричный элемент, мы фактически меняем местами элементы в строках и столбцах, что приводит к тому, что определитель будет умножен на (-1) в степени k, где k - количество перестановок.

5. Итог:

• Если мы заменим каждый элемент матрицы на элемент, симметричный относительно побочной диагонали, то определитель матрицы изменится на (-1) в степени n, где n - размерность матрицы.

Таким образом, если мы говорим о квадратной матрице, то определитель изменится на (-1) в степени n, что может означать, что он станет равным определителю исходной матрицы, умноженному на (-1), если n - нечетное, или останется прежним, если n - четное.