Как можно вычислить определитель матрицы двумя способами: а) разложением по элементам любой строки (или столбца); б) понижением порядка? Дана матрица: | 2 1 -1 -1 | | 15 11 1 -1 | | 1 2 4 -4 | | 2 3 4 3 |.

Математика 11 класс Определители матриц определитель матрицы разложение по строке понижение порядка математика 11 класс вычисление определителя методы вычисления определителя Новый

Для вычисления определителя матрицы можно использовать разные методы. Рассмотрим оба способа на примере данной матрицы:

Матрица A:

| 2 1 -1 -1 |

| 15 11 1 -1 |

| 1 2 4 -4 |

| 2 3 4 3 |

Способ а: Разложение по элементам любой строки (или столбца)

Мы можем разложить определитель по первой строке. Формула разложения выглядит следующим образом:

det(A) = a11 * C11 + a12 * C12 + a13 * C13 + a14 * C14,

где aij - элементы строки, а Cij - соответствующие алгебраические дополнения.

• a11 = 2, a12 = 1, a13 = -1, a14 = -1

Теперь найдем алгебраические дополнения:

• C11 = det(| 11 1 -1 | | 2 4 -4 |)
• C12 = -det(| 15 1 -1 | | 2 4 -4 |)
• C13 = det(| 15 11 -1 | | 2 3 3 |)
• C14 = -det(| 15 11 1 | | 2 3 4 |)

Теперь вычислим каждое из дополнений:

Для C11:

| 11 1 |

| 2 4 |

det = (11 * 4) - (1 * 2) = 44 - 2 = 42.

Для C12:

| 15 1 |

| 2 4 |

det = (15 * 4) - (1 * 2) = 60 - 2 = 58.

Для C13:

| 15 -1 |

| 2 3 |

det = (15 * 3) - (-1 * 2) = 45 + 2 = 47.

Для C14:

| 15 1 |

| 2 4 |

det = (15 * 4) - (1 * 2) = 60 - 2 = 58.

Теперь подставим все значения обратно в формулу:

det(A) = 2 * 42 + 1 * (-58) + (-1) * 47 + (-1) * 58

det(A) = 84 - 58 - 47 - 58 = -79.

Способ б: Понижение порядка

Для этого метода мы можем выбрать любой элемент матрицы и удалить строку и столбец, в которых находится этот элемент. Например, возьмем элемент a11 = 2.

Удалим первую строку и первый столбец:

| 11 1 -1 |

| 2 4 -4 |

| 3 4 3 |

Теперь вычислим определитель 3x3 матрицы:

det(B) = b11 * C11 + b12 * C12 + b13 * C13,

где b11 = 11, b12 = 1, b13 = -1.

• C11 = det(| 4 -4 | | 3 3 |)
• C12 = -det(| 2 -4 | | 3 3 |)
• C13 = det(| 2 4 | | 3 4 |)

Теперь вычислим каждое из дополнений:

Для C11:

det = (4 * 3) - (-4 * 3) = 12 + 12 = 24.

Для C12:

det = (2 * 3) - (-4 * 3) = 6 + 12 = 18.

Для C13:

det = (2 * 4) - (4 * 3) = 8 - 12 = -4.

Теперь подставим значения обратно:

det(B) = 11 * 24 + 1 * (-18) + (-1) * (-4)

det(B) = 264 - 18 + 4 = 250.

Теперь, возвращаясь к определителю A:

det(A) = 2 * 250 = 500.

Таким образом, мы получили определитель матрицы двумя разными способами. Важно помнить, что при разложении по строкам или столбцам, а также при понижении порядка, необходимо аккуратно следить за знаками и правильно вычислять алгебраические дополнения.