Как можно определить два единичных вектора, которые будут перпендикулярны векторам а(1,-3,-2) и б(1,-5,4)?

Математика 11 класс Векторная алгебра перпендикулярные векторы единичные векторы векторы а и б математика 11 класс векторы в пространстве Новый

Чтобы найти два единичных вектора, которые будут перпендикулярны векторам a(1, -3, -2) и b(1, -5, 4), мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем векторное произведение векторов a и b. Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве дает вектор, который перпендикулярен обоим исходным векторам.
2. Вычислим векторное произведение:

Векторное произведение векторов a и b можно найти по формуле:

(a x b) = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1),

где a1, a2, a3 - компоненты вектора a, а b1, b2, b3 - компоненты вектора b.

Подставим значения:

• a1 = 1, a2 = -3, a3 = -2
• b1 = 1, b2 = -5, b3 = 4

Вычислим компоненты векторного произведения:

• x = (-3) * 4 - (-2) * (-5) = -12 - 10 = -22
• y = (-2) * 1 - 1 * 4 = -2 - 4 = -6
• z = 1 * (-5) - (-3) * 1 = -5 + 3 = -2

Таким образом, векторное произведение a и b будет равно:

c = (-22, -6, -2)

3. Найдем длину вектора c. Длина вектора c вычисляется по формуле:

Длина (||c||) = sqrt(c1^2 + c2^2 + c3^2), где c1, c2, c3 - компоненты вектора c.

• ||c|| = sqrt((-22)^2 + (-6)^2 + (-2)^2) = sqrt(484 + 36 + 4) = sqrt(524)

Теперь вычислим значение sqrt(524). Это примерно равно 22.9.

4. Нормируем вектор c. Чтобы получить единичный вектор, делим каждую компоненту вектора c на его длину.

• u1 = -22 / sqrt(524)
• u2 = -6 / sqrt(524)
• u3 = -2 / sqrt(524)

Таким образом, один из единичных векторов, перпендикулярных a и b, будет:

u = (-22/sqrt(524), -6/sqrt(524), -2/sqrt(524))

5. Найдем второй единичный вектор. Второй единичный вектор, перпендикулярный к a и b, будет иметь противоположное направление:

• v = (22/sqrt(524), 6/sqrt(524), 2/sqrt(524))

Таким образом, мы получили два единичных вектора:

u = (-22/sqrt(524), -6/sqrt(524), -2/sqrt(524)) и v = (22/sqrt(524), 6/sqrt(524), 2/sqrt(524)).