Пожалуйста, помогите с векторной алгеброй. Даны координаты точек A(14, -16), B(8, 7) и C(-10, 4). Как найти вектор BC, проекцию вектора AC, координаты вершины C и площадь треугольника ABC?

Математика 11 класс Векторная алгебра векторная алгебра координаты точек вектор BC проекция вектора AC площадь треугольника ABC Новый

Давайте поэтапно решим вашу задачу, используя данные координаты точек A(14, -16), B(8, 7) и C(-10, 4).

1. Находим вектор BC:

Вектор BC можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки C. Формула для нахождения вектора BC выглядит следующим образом:

• BC = C - B = (C_x - B_x, C_y - B_y)

Подставим значения:

• C_x = -10, B_x = 8
• C_y = 4, B_y = 7

Тогда:

• BC = (-10 - 8, 4 - 7) = (-18, -3)

Таким образом, вектор BC равен (-18, -3).

2. Находим вектор AC:

Вектор AC можно найти аналогично, вычитая координаты точки A из координат точки C:

• AC = C - A = (C_x - A_x, C_y - A_y)

Подставим значения:

• C_x = -10, A_x = 14
• C_y = 4, A_y = -16

Тогда:

• AC = (-10 - 14, 4 - (-16)) = (-24, 20)

Вектор AC равен (-24, 20).

3. Находим проекцию вектора AC на вектор BC:

Проекция вектора AC на вектор BC вычисляется по формуле:

• proj_BC(AC) = (AC · BC) / (BC · BC) * BC

Где "·" обозначает скалярное произведение векторов.

Сначала найдем скалярное произведение AC и BC:

• AC · BC = (-24) * (-18) + (20) * (-3) = 432 - 60 = 372

Теперь найдем скалярное произведение BC на себя:

• BC · BC = (-18) * (-18) + (-3) * (-3) = 324 + 9 = 333

Теперь подставим значения в формулу проекции:

• proj_BC(AC) = (372 / 333) * BC

Теперь подставим вектор BC:

• proj_BC(AC) = (372 / 333) * (-18, -3) = (-24, -3.34) (приблизительно)

Таким образом, проекция вектора AC на вектор BC равна примерно (-24, -3.34).

4. Находим площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 0.5 * |AC × AB|

Сначала найдем вектор AB:

• AB = B - A = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (8 - 14, 7 - (-16)) = (-6, 23)

Теперь найдем векторное произведение AC и AB:

• AC × AB = |AC| * |AB| * sin(θ), где θ - угол между векторами AC и AB.

Однако для 2D векторов векторное произведение можно вычислить как:

• AC × AB = AC_x * AB_y - AC_y * AB_x = (-24) * 23 - 20 * (-6)

Вычисляем:

• AC × AB = -552 + 120 = -432

Теперь находим площадь:

• Площадь = 0.5 * | -432 | = 216

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 216.

В итоге:

• Вектор BC: (-18, -3)
• Проекция вектора AC на BC: примерно (-24, -3.34)
• Площадь треугольника ABC: 216