Метод Крамера позволяет решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Для применения этого метода необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать систему уравнений в матричной форме.

   Для данной системы уравнений:

   • x - y + z = 1
   • x + y - z = 3
   • x - y - z = 1

   Мы можем записать ее в виде матрицы коэффициентов и вектора свободных членов:

   AX = B, где

   • A = [[1, -1, 1], [1, 1, -1], [1, -1, -1]] (матрица коэффициентов)
   • X = [[x], [y], [z]] (вектор переменных)
   • B = [[1], [3], [1]] (вектор свободных членов)
2. Вычислить определитель матрицы A.

   Определитель 3x3 можно вычислить по формуле:

   det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg),

   где a, b, c, d, e, f, g, h, i - элементы матрицы A:

   • det(A) = 1((-1)(-1) - (1)(-1)) - (-1)((1)(-1) - (1)(-1)) + 1((1)(-1) - (-1)(1))
   • det(A) = 1(1 + 1) - (-1)(-1 + 1) + 1(-1 + 1)
   • det(A) = 2 - 0 + 0 = 2.
3. Вычислить определители D1, D2, D3.

   Заменяем соответствующий столбец в матрице A на вектор B и вычисляем определители:

   • D1 - заменяем 1-й столбец:
   • D1 = [[1, -1, 1], [3, 1, -1], [1, -1, -1]]
   • det(D1) = 1((-1)(-1) - (1)(-1)) - (-1)((3)(-1) - (1)(-1)) + 1((3)(-1) - (-1)(1))
   • det(D1) = 1(1 + 1) - (-1)(-3 + 1) + 1(-3 + 1)
   • det(D1) = 2 - 2 - 2 = -2.
   • D2 - заменяем 2-й столбец:
   • D2 = [[1, 1, 1], [1, 3, -1], [1, 1, -1]]
   • det(D2) = 1((3)(-1) - (-1)(1)) - 1((1)(-1) - (-1)(1)) + 1((1)(1) - (1)(3))
   • det(D2) = 1(-3 + 1) - 1(-1 + 1) + 1(1 - 3)
   • det(D2) = -2 - 0 - 2 = -4.
   • D3 - заменяем 3-й столбец:
   • D3 = [[1, -1, 1], [1, 1, 3], [1, -1, 1]]
   • det(D3) = 1((-1)(1) - (1)(3)) - (-1)((1)(1) - (3)(1)) + 1((1)(-1) - (-1)(1))
   • det(D3) = 1(-1 - 3) + 1(1 - 3) + 1(-1 + 1)
   • det(D3) = -4 + (-2) + 0 = -6.
4. Найти значения переменных x, y, z.

   Используем формулы:

   • x = D1 / det(A) = -2 / 2 = -1.
   • y = D2 / det(A) = -4 / 2 = -2.
   • z = D3 / det(A) = -6 / 2 = -3.

Таким образом, решение системы уравнений:

• x = -1
• y = -2
• z = -3