Для анализа функции f(x) = 1/8(x^3 - 3x^2 - 9x + 11) и создания ее графика, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

Функция является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения:

• x ∈ R (все действительные числа).

Для анализа поведения функции, нам нужно найти ее первую производную f'(x). Это поможет нам определить критические точки и интервалы возрастания и убывания функции.

1. Найдем производную:
2. f'(x) = 1/8 * (3x^2 - 6x - 9).
3. Упрощаем: f'(x) = 3/8(x^2 - 2x - 3).
4. Теперь найдем корни уравнения f'(x) = 0:
5. x^2 - 2x - 3 = 0.
6. Корни уравнения можно найти по формуле: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.
7. Здесь a = 1, b = -2, c = -3. Подставляем:
8. x = (2 ± √(4 + 12)) / 2 = (2 ± 4) / 2.
9. Корни: x1 = 3 и x2 = -1.

Теперь мы определим интервалы, на которых функция возрастает или убывает:

• Интервалы: (-∞, -1), (-1, 3), (3, +∞).
• Выберем тестовые точки:
• Для x = -2 (интервал (-∞, -1)): f'(-2) = 3/8((-2)^2 - 2*(-2) - 3) = 3/8(4 + 4 - 3) > 0 (возрастает).
• Для x = 0 (интервал (-1, 3)): f'(0) = 3/8(0 - 0 - 3) < 0 (убывает).
• Для x = 4 (интервал (3, +∞)): f'(4) = 3/8(16 - 8 - 3) > 0 (возрастает).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

1. f(-1) = 1/8((-1)^3 - 3*(-1)^2 - 9*(-1) + 11) = 1/8(-1 - 3 + 9 + 11) = 1/8(16) = 2.
2. f(3) = 1/8(3^3 - 3*3^2 - 9*3 + 11) = 1/8(27 - 27 - 27 + 11) = 1/8(-16) = -2.

Посмотрим на поведение функции при x → ±∞:

• При x → +∞, f(x) → +∞.
• При x → -∞, f(x) → -∞.

Теперь, имея все эти данные, мы можем построить график функции:

• Критические точки: (-1, 2) (локальный максимум) и (3, -2) (локальный минимум).
• Функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞), и убывает на интервале (-1, 3).
• График будет начинаться в -∞, подниматься до точки (-1, 2), затем опускаться до точки (3, -2) и снова подниматься к +∞.

Таким образом, мы проанализировали функцию и можем построить ее график, учитывая все найденные характеристики.