Как можно провести исследование функции и построить график у=х^3-3х+2?

Математика 11 класс Исследование функций и построение графиков исследование функции график функции у=х^3-3х+2 построение графика математика 11 класс Новый

Для того чтобы провести исследование функции и построить график функции y = x^3 - 3x + 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определение области определения функции:

Функция y = x^3 - 3x + 2 является многочленом третьей степени, поэтому область определения этой функции — все действительные числа. То есть:

• Область определения: D = R.

2. Нахождение производной:

Чтобы исследовать функцию на экстремумы и точки перегиба, найдем её производную:

• y' = 3x^2 - 3.

3. Нахождение критических точек:

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• 3x^2 - 3 = 0.
• 3x^2 = 3.
• x^2 = 1.
• x = ±1.

4. Исследование знака производной:

Теперь исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервалы: (-∞, -1), (-1, 1), (1, +∞).

Выберем тестовые точки для каждого интервала:

• Для x = -2 (интервал (-∞, -1)): y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0 (функция возрастает).
• Для x = 0 (интервал (-1, 1)): y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 (функция убывает).
• Для x = 2 (интервал (1, +∞)): y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0 (функция возрастает).

5. Нахождение значений функции в критических точках:

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4.
• y(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.

6. Определение типов экстремумов:

Из анализа производной мы видим, что:

• При x = -1 функция имеет максимум (возрастает до -1 и убывает после).
• При x = 1 функция имеет минимум (убывает до 1 и возрастает после).

7. Нахождение второй производной:

Для нахождения точек перегиба найдем вторую производную:

• y'' = 6x.

Приравняем вторую производную к нулю:

• 6x = 0 ⇒ x = 0.

Исследуем знак второй производной:

• Для x < 0: y'' < 0 (выпуклость вниз).
• Для x > 0: y'' > 0 (выпуклость вверх).

Таким образом, точка x = 0 — это точка перегиба.

8. Построение графика:

Теперь мы можем построить график функции, используя полученные данные:

• Точка максимума: (-1, 4).
• Точка минимума: (1, 0).
• Точка перегиба: (0, 2).

График будет выглядеть следующим образом:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -1), достигает максимума в точке (-1, 4), затем убывает на интервале (-1, 1), достигает минимума в точке (1, 0) и снова возрастает на интервале (1, +∞).

Таким образом, мы провели полное исследование функции y = x^3 - 3x + 2 и построили её график.