Как найти производную функции, используя следующие правила:

1. Определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной.
2. Найти производную y`(x).
3. Решить уравнение y`(x)=0.
4. Построить диаграмму производной y`(x).
5. Определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции.

Функция: f(x)=x^3+3x^2+3x+2

Математика 11 класс Дифференцирование функций производная функции область определения непрерывность функции уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

Давайте поэтапно разберем, как найти производную функции f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 и проанализировать ее свойства.

1. Определение области определения

Функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 является многочленом, а многочлены определены для всех значений x. Следовательно, область определения функции:

• Область определения: D(f) = (-∞; +∞).

2. Проверка непрерывности

Многочлены также являются непрерывными функциями на всей своей области определения. Таким образом, функция f(x) непрерывна на (-∞; +∞).

3. Нахождение производной y'(x)

Теперь найдем производную функции f(x). Используем правило дифференцирования для многочленов:

• Производная x^n = n*x^(n-1).

Теперь применим это к нашей функции:

• f'(x) = 3x^2 + 6x + 3.

4. Решение уравнения y'(x) = 0

Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

• 3x^2 + 6x + 3 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:

• D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 3 * 3 = 36 - 36 = 0.

Поскольку дискриминант равен 0, мы имеем один корень:

• x = -b/(2a) = -6/(2*3) = -1.

5. Построение диаграммы производной y'(x)

Теперь мы можем построить диаграмму производной. Для этого определим знак производной на интервалах:

• Возьмем тестовые точки: например, x < -1, x = -1, x > -1.
• Для x < -1 (например, x = -2): f'(-2) = 3*(-2)^2 + 6*(-2) + 3 = 12 - 12 + 3 = 3 (положительно).
• Для x = -1: f'(-1) = 0.
• Для x > -1 (например, x = 0): f'(0) = 3*0^2 + 6*0 + 3 = 3 (положительно).

Таким образом, производная положительна на интервале (-∞; -1) и (−1; +∞), и равна 0 в точке x = -1.

6. Определение монотонности функции

Теперь определим, где функция f(x) возрастает и убывает:

• На интервале (-∞; -1) функция возрастает (поскольку y' > 0).
• В точке x = -1 функция имеет локальный минимум (поскольку y' = 0).
• На интервале (-1; +∞) функция также возрастает (поскольку y' > 0).

Таким образом, функция f(x) имеет локальный минимум в x = -1 и возрастает на всей своей области определения, кроме точки x = -1.

В итоге, мы нашли производную функции, определили ее непрерывность, нашли точки, где производная равна нулю, и проанализировали монотонность функции.