Коротко о подходе

«Вероятность встречи» — это частный случай задачи о вероятности пересечения двух событий. Общий алгоритм такой: 1) точно сформулировать модель (как приходят люди, равновероятно или по расписанию, дискретно или непрерывно и т.д.), 2) задать пространство элементарных исходов (возможно геометрически), 3) определить множество благоприятных исходов, 4) вычислить отношение меры благоприятных исходов к мере всего пространства.

Шаги решения (общая схема)

1. Определите интервал времени T, в котором люди приходят, и время ожидания t (если применимо).
2. Выберите модель случайных приходов: равномерное распределение по интервалу (самый частый вариант) или дискретный набор точек.
3. Опишите пространство исходов. Для двух людей с равномерными приходами на интервале 0..T это квадрат с координатами (x,y) — времена прихода первого и второго.
4. Найдите область в этом пространстве, где разность прихода не превосходит времени ожидания: |x - y| ≤ t. Это и есть благоприятная область.
5. Вычислите отношение площади (или числа исходов) благоприятной области к площади всего пространства — это и есть искомая вероятность.

Классический пример (геометрическая модель)

Пусть оба приходят в интервал длины T и каждый ждет t (0 ≤ t ≤ T). Нормируем на единицу, положив w = t / T. Тогда пространство исходов — единичный квадрат с координатами (x,y) в [0,1] × [0,1]. Благоприятная область — полоса вдоль диагонали, где |x - y| ≤ w.

Площадь этой полосы равна площади квадрата минус площади двух треугольников с катетами длины 1 - w, то есть

P = 1 - 2 * (1/2) * (1 - w)^2 = 1 - (1 - w)^2 = 2w - w^2.

В исходных единицах это P = 1 - (1 - t/T)^2 = 2(t/T) - (t/T)^2.

Числовой пример

Оба приходят в течение часа (T = 60 минут). Каждый ждет 15 минут (t = 15). Тогда w = 15/60 = 0.25.

P = 2*0.25 - 0.25^2 = 0.5 - 0.0625 = 0.4375. То есть вероятность встречи ≈ 43.75%.

Простой дискретный пример

Если есть m возможных мест встречи и каждый независимо выбирает одно из них равновероятно, то вероятность, что они выберут одно и то же место, равна 1/m.

Советы и замечания

• Всегда сначала прямо формулируйте модель — от нее зависит ответ.
• Если времена прихода неравномерны, нужно подставлять соответствующие плотности и интегрировать (геометрическая идея остается той же).
• Иногда удобнее считать по дополнению: вероятность не встретиться и вычесть из 1.

Если хотите, могу решить вашу конкретную задачу: укажите интервал прихода, время ожидания и модель (равномерное или иное распределение).